Mid_math28

問題文

$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか？

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$2025年9月25日$ のように、西暦、年、日が全て平方数であるような日をEMOい日とします。
$2025年9月25日$ の次のEMOい日は $a年b月c日$ です。$a+b+c$ を解答してください

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$n^9$ と $n^{25}$ の $1$ の位が等しいような $1$ 桁の正整数 $n$ を全て求め、それらの総和を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$2025 \times 2025$ のマス目があり、右から $m$ 列目、上から $n$ 行目のマスを $(m,n)$ と表します。
いま、$(1,1)$ に東くんがおり、辺を共有するマスを通って最短距離で $(2025,2025)$ まで移動します。
このとき、以下を満たすような移動方法は $M$ 通りあります。$M$ は $2$ で何回割り切れますか？

$$i と j がともに偶数であるようなマス (i,j) を一つも通らない$$

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$$9^a=2^b+5^c$$
を満たす非負整数の組 $(a,b,c)$ を全て求めてください。

解答形式

$(a,b,c)$ としてありうる組すべてについて、$a+b+c$ の総和を解答してください

問題文

以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください

問題文

$AB ≠ AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし,辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $H$ を通り直線 $AM$ に垂直な直線上に点 $X$ を, $\angle{AXM}=90^\circ$ を満たすようにとります．
$$\tan{\angle{BAC}}=\sqrt{\dfrac{19}{17}}　　AX=2\sqrt{51}$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積 $S$ は一意に定まるので, $S^2$ を解答してください.

解答形式

半角で解答してください

問題文

複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$
$$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$
を満たします．このような組はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

問題文

実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ が, 任意の実数 $x,y$ について
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
を満たしており $,$ さらに $f(7)=13$ が成り立っています. $f(28)$ を求めてください.\

解答形式

半角で解答してください

問題文

$$p^q-r^2=23$$
を満たす素数の組 $(p,q,r)$ すべてについて, $pqr$ の総和を解答してください.

解答形式

半角で解答してください

問題文

三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228,　AC-AB=10　　$$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.