Mid_math28
問題文
三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228, AC-AB=10 $$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14 AM=9 \tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1 FD=3 DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9 HG=2 \angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7 PC=4 \cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$$AB=7 BC=12 CA=11$$
をみたす三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ とし, $\angle{BAC}$ の二等分線と $\Omega$ の交点を $M(≠A)$ とします. また $A$ における $\Omega$ の接線と直線 $BC$ の交点を $T$ とし, 直線 $TM$ と $\Omega$ の交点を $P(≠M)$ とするとき, 線分 $AP$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で解答してください
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1 EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で入力してください。
問題文
$AB=44,AC=46$ をみたす三角形 $ABC$ があり, $AB,AC$ の中点を $M,N$ とする. 三角形 $ANB$ の外接円と三角形 $AMC$ の外接円の $A$ でない交点を $P$ とすると $P$ が線分 $BC$ 上に存在した.
このときの線分 $BC$ の長さを求めよ
解答形式
$BC^2$ は正の整数値になるので, その値を半角で解答してください
問題文
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ $,$ $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし $,BC$ の中点を $M$ とする$.$ 直線 $AM$ 上に $\angle APH=90 ^。$ となる点 $P$ をとり$,$ 直線 $DE$ と直線 $FP$ の交点を $Q$ とする $.$
また $,$ 三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $ABM$ の外接円との交点を$R$ $,$ 三角形$AHC$の外接円と線分 $DE$ の交点を$S$ とする $.$
$$AM:AS=\sqrt{3}:\sqrt{2} AQ=11 QR=7$$
が成り立つとき, $BC$ の長さを求めよ.
解答形式
$BC^2$ は正の整数値になるので,その値を半角で解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9 XM=2 \angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.
解答形式
答えは正の整数値になるので,半角で解答してください
問題文
$2025年9月25日$ のように、西暦、年、日が全て平方数であるような日をEMOい日とします。
$2025年9月25日$ の次のEMOい日は $a年b月c日$ です。$a+b+c$ を解答してください
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の整数の組 ($A,E,M,S,T,U,Y$) が以下の覆面算を満たしています
$$\begin{array}{rr}
& MATU \\
+ & YAMA \\
\hline
& EAST
\end{array}$$
このとき、$EAST$ としてありうる値を見つけてください。
解答形式
$EAST$ としてありうる値が$3$つ存在するので、それらの総和を解答してください。
問題文
$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか？
追記 タイルは回転してかまいません。
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
$2025 \times 2025$ のマス目があり、右から $m$ 列目、上から $n$ 行目のマスを $(m,n)$ と表します。
いま、$(1,1)$ に東くんがおり、辺を共有するマスを通って最短距離で $(2025,2025)$ まで移動します。
このとき、以下を満たすような移動方法は $M$ 通りあります。$M$ は $2$ で何回割り切れますか？
$$i と j がともに偶数であるようなマス (i,j) を一つも通らない$$
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。
解答形式
解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください
問題文
$n^9$ と $n^{25}$ の $1$ の位が等しいような $1$ 桁の正整数 $n$ を全て求め、それらの総和を解答してください。
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください
解答形式
解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。