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上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。 点は交点を表している。 追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。
角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。 小数が出てきた場合、小数点は省略して答えてください。 100.5°→1005
$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。 $x^2 + xy + y^2 = 25$ $y^2 + yz + z^2 = 36$ $z^2 + zx + x^2 = 49$
√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。 ·解答例 15√3のとき 15 3
$x^6+3x^4+2x^2-1$ を整数係数範囲で因数分解してください.
与式は複数個の多項式に因数分解できるので,できるだけ因数分解し, 多項式毎に $x$ の指数 $+1$ と係数の積の和を求め,それらを掛けたものを入力してください. 例.) $(x^2+x+3)(2x^3+5x+1)$ と因数分解できたとき, 答える値は $(3\cdot1+2\cdot1+1\cdot3)(4\cdot2+2\cdot5+1\cdot1)=152$ です.
方程式 $p^2+q^2+r^2=2027$ を満たす素数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ。 ただし、$p \le q \le r$ とする。
組の個数ごとに改行して答えてください。なお、組が複数ある場合はpが小さい順に並べてください。 解答例(p,q,r)=(3,5,7),(2,7,11)のとき 2,7,11 3,5,7
2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。
条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。
三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました． $$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$ このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．
このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました． $$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$ このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
$AB=11, AC=18$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，線分 $AD$ が外接円の直径をなすような点 $D$ を取り，線分 $BC$ の中点を $M$，$D$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とする．三角形 $AME$ の外接円が線分 $AB$ に接するとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $$BC=14 AM=9 \tan{\angle{BAC}}=2$$ が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
注意事項に沿って解答してください.
平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか
・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は (x+1,y),(x,y+1) のいずれかである ・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点 (2t,2t) を通過することはできない (1≦t≦3,tは整数)
実数 $x$ であって，$x$ の整数部分と小数部分の積が $x$ となるものを大きい順に $x_1,x_2,\dots$ とします．このとき，$x_2x_3\dots x_9$ の値を求めてください．なお，$x$ の整数部分とは $x$ 以下の最大の整数，小数部分とは $x$ から $x$ の整数部分を引いた値のことを言います．
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
