Three Centroids

問題文

$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．

直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．

この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$

また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．

線分 $KC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

$ab+bc+ca=1$を満たす正実数$a,b,c$の組について，$528a^2+528b^2+c^2$の最小値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。

解答形式

答えを解答してください。

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

聖中君と光川君はそれぞれ1台ずつ携帯電話を持っており，聖中君の携帯電話，光川君の携帯電話の充電をそれぞれ $a,b$ ％ ($a,b$ は共に $100$ 以下の正整数)とすると， $a^a+b^b=(a+b)^{ab}$ が成立しました．

$a≧b$ とする時， $a$ としてありうる値の総和を求めて下さい．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

接点・共通領域を持たない円$A,B$があり，これらの中心を通る直線$l$との交点を$P,Q,R,S$とします．($P≠Q≠R≠S$)

但し$P,Q$が$A$の円周上，$R,S$が$B$の円周上にあり，$P,Q,R,S$の順に並ぶとします．

また$PS,QR$の長さをそれぞれ$a,b$と置きます．

この時$A,B$の共通内接線の長さが$2025$となるような$(a,b)$の組として考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

SKG学院では$5×5$のマス目を使い，とあるゲームが行われている．
ゲームのルールは以下の通り．
・お客さんと生徒がじゃんけんをする．勝った方が先手，負けた方が後手となる．
この時あいこは考えないものとする．
・先手は黒の碁石，後手は白の碁石をマスの上に交互に置いていく．
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない．
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び，その個数を数える．
特別な辺：ある行の$5$マスを見た時お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの．
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち，奇数であれば生徒の勝ちとなる．

お客さんが勝つ確率を$A$，お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数を$B$とする．
$A×B$の値を求めなさい.
但し回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

$1×1$ のタイルが $18644671$ 枚あり，それを上から $1,2,3,……,6106$ 枚ずつ階段状に並べます．

Hiziri-Hikaru君はこれらのタイルを， $6106$ 個のブロックに分割しようと考えました．

ブロックの定義は以下の通り．

ブロックとは
・長方形を成すような $n$ 個のタイルのこと(その長方形の縦横を $m,l$ とする時， $m×l=n$ を満たす)

・ブロック同士が重なり合うことはない(あるタイルが$2$つ以上のブロックに属すことはない)

タイルの分割方法は $K$ 通りと書けるので， $K$ を素数 $6101$ で割った余りを求めて下さい．

ただし，いずれのブロックにも含まれないようなタイルが存在しないように分割するとし，分割する順番は考慮しないとします．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：

$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である

$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。

解答形式

例）答えで解答してください。

問題文

SKG学院の文化祭では，$1$から$10$の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています．

このダイス$10$個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました．

ここで以下のような事実が分かっています．
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について，番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします．

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす．

この$10$個のダイスを同時に一回振る時，出目の積の期待値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で入力して下さい．