全問題一覧
問題文
三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ に対し、その等角共役点を $P^*$ とする。$P$ を通り各辺に平行な直線と他の 2 辺の交点を結んでできる 3 つの線分の中点が一直線上にあるとき、点 $P$ の軌跡 $C$ を求めよ。さらに、$P$ が三角形の重心であるとき、この直線と外接円の交点を $X, Y$ とし、線分 $XY$ の中点を $M$ とする。$\angle BMA = \angle CMA$ が成り立つための三角形 $ABC$ の形状に関する必要十分条件を求めよ。
解答形式
例）LaTeXと説明はカタカナで回答してください。
問題文
正の整数 $k \geq 2$ に対して、数列 $a_n$ を次のように定義する。
$$a_n = \sum_{i=1}^k i^n + \left( \prod_{i=1}^k i \right)^n - (k-1)$$
(1) 任意の素数 $p$ に対して、$p \mid a_n$ を満たす正の整数 $n$ が存在することを示せ。
(2) $k=3$ のとき、すべての正の整数 $m$ に対して $m \mid a_n$ となる正の整数 $n$ が無限に存在するか判定せよ。
解答形式
例）文章で書いてください。解法も見ます。
問題文
集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。
解答形式
算用数字で解答してください
問題文
πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．
また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．
例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。
このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．
解答形式
算用数字で回答してください．
問題文
あなたは友達と二人でじゃんけんをしています。こういう問題って普通は何回かやった時にあなたが勝つ確率を求めたりするのが主流ですが、決着がつくまでじゃんけんを続けることもありますよね。
...というわけで決着がつくまで二人でじゃんけんをしたとき、あなたが勝つ確率を求めてください。
解答形式
分数の形なので、「A/B」と打ってください。スペースは要りません。
問題文
内角がすべて90°となる三角形を構成せよ。
解答形式
文章でまとめなさい。
$$
M_{x}(y)をyをxで割った余りとします。
\\a_{n+1}=M_{p}(3a_{n} +\beta),a_{1}=aであり、
\\
\begin{equation}
\left\{
\begin{alignedat}{3}
n,a,\beta,p\in\mathbb{N}
\\n\geq1
\\1\leq \beta \leq p
\end{alignedat}
\right.
\end{equation}
である数列を考えたとき、\\
\\
a_{n}の取り得る値の種類をT_{p}として、T_{p}\ne pを示してください。
$$
解答形式
日本語で簡潔に入力してください。
問題文
この問題は、Prime Prime Prime (Easy)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。
また、必要とされる素数表の大きさがOMCに乗っているものよりも大きいため、この問題に限り、外部の素数表の閲覧を許可します。
$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ＜ $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．
- $i=1,2, \dotsc,314$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．
なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．
- はじめに $314$ 人それぞれに人$1,$ 人$2,$ ... 人$314$ と名付け，次に，人$i$ $(2 \le i \le 314)$ に $1$ 以上 $314$ 以下のいくつかの正整数を与える．そして， $i=1,2, \dotsc,314$ について以下を繰り返す．
- $i=1$ ならば人$1$ が叫ぶ．そうでないなら，まだ叫んでいない人それぞれについて，与えられた数の集合を $S$ として，$S$ の中にもう叫んだ人$j$が含まれている場合，その人が数 $i$ を叫ぶ．
このたけのこニョッキが成功するような，$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください．ただし， $314$ 人の名付け方は固定されているものとします．
解答形式
半角数字で解答してください．