CpSL2 E問題

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，外心を $O$ とします．$O$ を通る直線 $AI_A$ に平行な直線と辺 $AC$ の交点を $P$ とおくと，円 $APO$ は直線 $OI_A$に接しました．以下の条件を満たしているとき，辺 $AB$ の長さを求めてください．
$$\cos \angle ABC=\dfrac{1}{7},　BC=6$$

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

$AB < AC$ をみたし，$\angle B$ が鋭角であるような三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり，線分 $AD$ の中点を $E$ とすると，$AB = AD , \angle AEB = 2\angle ACB$ が成立した．また $\angle AEB$ の二等分線と線分 $AC$ は $C$ でない点 $F$ で交わり，$CD = 2 , EF = \sqrt{3}$ が成立した．このとき線分 $BD$ の長さは，平方因子を持たない正整数 $a$ と正整数 $b , c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} + b}{c}$ と表されるので，積 $abc$ を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，垂心を $H$，外心を $O$ とすると $I_AH=I_AO$ が成り立ちました．$\angle ABC=45^\circ, AB=1$ であるとき，辺 $AC$ の長さとして考えられる値の総積を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

$\cos \angle BAC=\dfrac{3}{7}$ を満たす三角形 $ABC$ があり，$B$ から直線 $CA$ におろした垂線の足を $D$，$C$ から直線 $AB$ におろした垂線の足を $E$ とします．三角形 $ADE$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$ とすると，$I_A$ は直線 $BC$ 上に存在しました．$AC=1$ のとき，辺 $AB$ の長さとして考えられる値の総和を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

あなたは友達と二人でじゃんけんをしています。こういう問題って普通は何回かやった時にあなたが勝つ確率を求めたりするのが主流ですが、決着がつくまでじゃんけんを続けることもありますよね。
...というわけで決着がつくまで二人でじゃんけんをしたとき、あなたが勝つ確率を求めてください。

解答形式

分数の形なので、「A/B」と打ってください。スペースは要りません。

問題文

以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ
$$
47!\sum_{k=1}^{45}\
\frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!}
$$

解答形式

正整数で回答してください