atawaru

問題文

以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか？

• $n$ は $3$ の倍数である．

• $2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で，そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって，上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ について，そのスコアを

• $i=1,2,\dots,7$ のうち，$a_i\lt a_{i+1}$ なるものの総和

と定めます．$8!$ 通りすべての並び替えのスコアの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$3$ 個以上の相異なる $300$ 以下の正整数からなる集合が次の条件を満たすとき，その要素数として考えられる最大の値を解答してください．

• どの相異なる $3$ 個の要素を選んでも，それらを $3$ 辺の長さとする(非退化な)三角形は存在しない．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $N$ に対して，$v_3(N)$ で $N$ が $3$ で割り切れる最大の回数を表します．このとき，次の値を求めてください．$$\sum_{n=1}^{100}v_3\left(\sum_{k=1}^{n}k!\right)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外接円の優弧 $BC$ の中点を $D$ ，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AC,DM$ の交点を $X$ とします．このとき，四角形 $ABCD$ の面積は $97$ で，かつ $DX=4,XM=5$ が成立しました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$a,b$ を正整数とするとき，$f(a,b)$ を次の式を満たす整数 $n$ の個数として定めます．$$an^3+b=\mathrm{lcm}(a,b)n^2+\gcd(a,b)n$$このとき，次の値を求めてください．$$\sum_{a=1}^{100}\sum_{b=1}^{100}f(a,b)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

次を満たすすべての複素数組 $(a,b,c)$ について，$abc$ の値の総和を求めてください．
$$\left\{
\begin{aligned}
ab(b+c)&=3\\
bc(c+a)&=4\\
ca(a+b)&=42
\end{aligned}
\right.$$

解答形式

答えは正整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．

問題文

$2^6×3^2×7$ の正の約数 $42$ 個の並び替え $(a_1,a_2,\dots,a_{42})$ であって，次の条件を満たすものはいくつありますか．

• $n=1,2,\dots,42$ について，$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ としたとき，$S_1,S_2,\dots,S_{42}$ はいずれも $3$ の倍数でない．

解答形式

答えは非負整数 $N$ となるので，$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ であって，$$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_5+a_6+a_7+a_8}$$ が整数となるものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．