Three Centroids

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。

解答形式

答えを解答してください。

問題文

$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．

直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．

この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$

また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．

線分 $KC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：

$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である

$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。

解答形式

例）答えで解答してください。

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

$ab+bc+ca=1$を満たす正実数$a,b,c$の組について，$528a^2+528b^2+c^2$の最小値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

聖中君と光川君はそれぞれ1台ずつ携帯電話を持っており，聖中君の携帯電話，光川君の携帯電話の充電をそれぞれ $a,b$ ％ ($a,b$ は共に $100$ 以下の正整数)とすると， $a^a+b^b=(a+b)^{ab}$ が成立しました．

$a≧b$ とする時， $a$ としてありうる値の総和を求めて下さい．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

$314$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=1,2, \dotsc,314$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $314$ 人それぞれに人$1,$ 人$2,$ ... 人$314$ と名付け，次に，人$i$ $(2 \le i \le 314)$ に $1$ 以上 $314$ 以下のいくつかの正整数を与える．そして， $i=1,2, \dotsc,314$ について以下を繰り返す．
  • $i=1$ ならば人$1$ が叫ぶ．そうでないなら，まだ叫んでいない人それぞれについて，与えられた数の集合を $S$ として，$S$ の中にもう叫んだ人$j$が含まれている場合，その人が数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$313$ 人に対する正整数の与え方の場合の数が $2$ で最大何回割れるかを解答してください．ただし， $314$ 人の名付け方は固定されているものとします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

コンテスト後追記：本問は条件過剰により図が存在しませんでした、本当に申し訳ないです。

三角形 $ABC$ について，辺 $AC$ 上に点 $D$ をとり，三角形 $BCD$ の内心を $I$ とします．また，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AM,BD$ の交点を $P$ とします．このとき，$3$ 点 $A,I,M$ は同一直線上にあり，さらに

$$AB=10，AP=9，PI=3，IM=5$$

が成立しました．線分 $CP$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．