数学の問題一覧
問題文
整数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ として考えられる最大値を解答して下さい．
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $AB$ を直径とする円を $\omega_{1},$ 点 $B$ で直線 $AB$ に接し，点 $C$ を通る円を $\omega_{2}$ とします．また，$\omega_{1}$ と $\omega_{2}$ の交点のうち $B$ でないほうを $D$ とし，直線 $AD$ と直線 $BC$ の交点を $E$ とします．この時，次のことが成り立ちました．
$$BD=6,DC=4,CB=8$$
$\omega_{1},\omega_{2},$ 三角形 $CDE$ の外接円の中心をそれぞれ $O_{1},O_{2},O_{3}$ とするとき，三角形 $O_{1}O_{2}O_{3}$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ と平方因子を持たない正の整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を回答してください．
問題文
問 凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。
解答形式
必要十分条件を求め、証明を記述してください。
数学問題
$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時、$$(\frac{a^{2}-x^{2}}{2x})^{2}+(\frac{a^{2}-y^{2}}{2y})^{2}=(\frac{a^{2}-z^{2}}{2z})^{2}$$を成り立たせるそれぞれが異なる有理数$a,x,y,z$の組について、$x,y,z$を$x^{2}+y^{2}=t^{2}$($t$を有理数とする),$z=\frac{xy}{t}$と定めると解が存在しないことを証明せよ。
解答形式
あまり大雑把にならないようにしてください。
$\quad$正整数 $m$ に対し, $2^k | m$ を満たす最大の非負整数 $k$ を $v_2(m)$ とする.
$\quad$次の条件を全て満たす正整数の組
$$(a_1,a_2,\dots,a_9)$$
の総数を求めよ.
- $a_1=1,a_{9}=144$.
- $2\leq i \leq9$ を満たすすべての整数 $i$ について,
$$a_i=2a_{i-1}\quad または\quad a_i=a_{i-1}+2^{v_2(a_{i-1})+1}$$
が成り立つ.
問題文
正の整数 $x$ に対し$,$ $x^x$ の正のすべての約数の積を $f(x)$ とするとき$,$ $$f(x) = x^{1950}$$を満たすような正の整数 $x$ をすべて求めてください。
解答形式
条件を満たすような正の整数 $x$ の 総和 を入力してください。