数学の問題一覧

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KOTAKE杯005(B)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

20

問題文

三角形 $ABC$ があり, $ \angle ACB$ の二等分線と $AB$ の交点を $D$ とし,線分 $BC$ 上に点 $P$ ,線分 $AC$ 上に点 $Q$ をとると相異なる $4$ 点 $A,C,D,P$と$B,C,D,Q$ はそれぞれ共円であり $CP=3,CQ=4,AB=15$ が成立した.このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯005(F)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

18

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$,円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$,円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする.
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると,$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき,$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯005(E)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

12

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について垂心を $H$ とし,三角形 $ABC$ の外接円と直線 $BH$ ,直線 $CH$ の交点をそれぞれ $(D\neq B),E(\neq C)$ とする.半直線 $DE$ と直線$BC$の交点を$P$とすると,三角形 $AEH$ の外接円は直線 $HP$ に点 $H$ で接し, $PH=3,AE=4$ であった.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯005(C)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

19

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり, $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし,重心を $G$ ,垂心を $H$ とする.このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD=3,CD=5$であったので, $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯005(D)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

14

問題文

$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする.相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び,$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した.線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯005(A)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
19時間前

23

問題文

三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB=DC,AC=AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

再掲No.2

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
5日前

1

問題文

三角形 $ABC$ の線分 $BC$ の中点を $M$ とし,線分 $AB$ 上に点 $P$ をおくと $AP=2,AM=5,CP=4, \angle ACP= \angle BPM$ であったので,線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

再掲No.1

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
5日前

1

問題文

三角形 $ABC$ があり内部に点 $D$ をとり,直線 $AD$ と $BC$ の交点を $E$ とすると $\angle ABD=\angle BCD,AD=DE=3,BE=2,CE=9$ であった.このとき $AC$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

400N

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
5日前

7

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

  • $a_1=309,a_N=461$.
  • $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
  • $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

整数問題

Ryomanic 採点者ジャッジ 難易度:
5日前

8

問題文

数列{a_n}について、
$$a_1=1$$,$$a_{n+1}=(n+1)a_n$$ と定めます。
n≧4の時、
$$\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n-2}}$$
が整数となるような整数nを全て求めてください。(更新5月13日12時50分)

解答形式

解が有限個となるので全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。

整数問題

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
6日前

4

問題文

素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。

解答形式

解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます

ちょっと前に生えたやつ

kinonon 自動ジャッジ 難易度:
7日前

18

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください