$ $ 次の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めて下さい.
$$x^3 + 2x^2y + x^2z + xy^2 + xyz = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$$
半角英数にし,答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい.
正の整数について定義され,$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり,任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて,$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき,$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ.
$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある.いま,この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし,$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき,$M^N$ を解答せよ.