数学の問題一覧
問題文
三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9 HG=2 \angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7 PC=4 \cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14 AM=9 \tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1 FD=3 DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
問題文
三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228, AC-AB=10 $$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.
解答形式
注意事項に沿って解答してください.
$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.