数学の問題一覧
問題文
正整数 $3$ つの集合 $S$ であって，以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか？
- $S$ に属する $3$ 数を十進数表記したときすべて $3$ 桁であり，それぞれの桁に $1, 2, ..., 9$ がすべて $1$ 回ずつ現れる．
- $S$ から相異なる $2$ 数 $a, b$ を選ぶ方法であって，$a + b = 1110$ をみたすものが存在する．
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$a×b×c×d$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
解答形式
半角数字で解答して下さい。
問題文
円 $\Gamma$ に内接する凸四角形 $ABCD$ において，直線 $AB,CD$ の交点を $S$，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $T$ とします．$S,C,D,T$ がこの順に並んでおり，かつ，
$$AB=10,SC=16,TD=5,BC\cdot AD=32$$
が成立しているとき，線分 $SB$ の長さを求めてください．ただし求める長さは，正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
鋭角三角形$ABC$について、$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。$△ABC$の外接円と直線$EF$の交点の内、劣弧$AB$側の交点を$G$、劣弧$AC$側の交点を$H$とする。直線$BG$と直線$DF$の交点を$I$としたとき、$A.I,H$は共線であった。このとき、以下が成立した。
$$
∠C=60° BC=8
$$
このとき、$AC$の長さは自然数$a.b$を用いて$a+√b$と表せられるので、$a+b$の値を求めて下さい。
解答形式
半角で解答して下さい。
問題文
内接五角形$ABCDE$があり、$∠BAC$＝$∠CAD$＝$∠DAE$である。
また、$AB=12$、$AC=17$、$AD=20$である。
このとき、$AE$の長さは互いに素な正の整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので$p+q$を解答してください。
解答形式
半角で解答してください。
問題文
$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4 CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。
解答形式
半角で解答してください。