数学の問題一覧
問題文
ある円周上に点をランダムに無限個打ち，打った順に $A_1,A_2,A_3,\cdots$ とします．また，以下のルールに従い点つなぎを行います．
ルール
- ペン先を $A_1$ に置く．
- 現在のペン先が $A_i$ にあるとき，$A_i$ と $A_{i+1}$ を線分で結ぶ．このとき，ペン先は $A_{i+1}$ へと移動する．
- 途中で他の線分と端点を除いて交わってしまう場合，現在の線分を消して点つなぎを終了する．
引くことの出来る線分の本数の期待値を $E$，分散を $V$ としたとき $V=f(E)$ となる整数係数多項式 $f$ がただ $1$ つ存在するので，$|f(1685)|$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，線分 $BC$ の中点を $M$，直線 $BH$ と $AC$，$CH$ と $AB$ の交点をそれぞれ $E, F$ とし，直線 $AH$ と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $T$，直線 $TM$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $S$，直線 $BS$ と $HC$ の交点を $X$，直線 $TM$ と $AC$ の交点を $Y$ とすると，
$$BH=HE, AH=9, XY=7$$
が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
問題文
三角形 $ABC$ について，外接円と $\angle A$ の二等分線が再び交わる点を $M$，線分 $AM$ と $BC$ の交点を $D$，$\angle AMC$ の二等分線と線分 $BC,AC$ の交点をそれぞれ $E,F$ とすると，$DE=9, AF=16, AB=20$ が成立した．線分 $BC$ の長さを求めよ．
問題文
$900$ 個の白丸が円形に並んでいる．ここから次の条件を満たすようにいくつかの丸 ($1$ つ以上) を黒く塗る方法は何通りあるか？
- 黒く塗られた丸がランダムで一つ選ばれ，また $1$ 以上 $450$ 以下の整数 $k$ がランダムで与えられる．この時，これらがどのように選ばれても，選ばれた丸から時計回りと反時計回りに $k$ 個先の丸の少なくとも一方は黒く塗られている．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，直線 $AH$ と $BC$，$BH$ と $AC$ の交点をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とする．四角形 $BDHP$ が長方形となるように点 $P$ を取ると $\angle APM=90^{\circ}, AE=3, EC=8$ が成立するとき，線分 $AD$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
問題文
$1\leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5\leq 100$ をみたす整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ すべてについて，次の値の総和を求めよ．
$$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}$$
問題文
正の整数について定義され（正とは限らない）整数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の整数 $m,n$ について
$$f(mn)=f(m)^2+f(m)f(n)-f(1)$$
を満たすものについて，$(f(1), f(2), …, f(100))$ としてありうる組はいくつ存在するか？
問題文
以下が成り立つ正の整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2)$ のうち，$a_1$ が最小であるようなものの中で，$b_2$ が最も小さいようなものは一意に定まるので，それについて $a_1a_2a_3b_1b_2$ を解答せよ．
- $a_1\geq a_2\geq a_3, b_1\geq b_2$
- $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2$
- $b_1!b_2!$ は $a_1!a_2!a_3!$ で割り切れる．
- $a_1 = b_1 + 4$
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
正の整数を半角で解答．
