Popcount Equation

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。

問題文

げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。

解答形式

答えを解答してください。

問題文

正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：

$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である

$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。

解答形式

例）答えで解答してください。

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．

また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．

例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。

このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．

解答形式

算用数字で回答してください．

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります．そして，以下の操作を何度か行い，黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします．

• 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで，左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す．

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします．最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが，これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください．
　但し，オセロの石は，片方が黒面で，もう片方が白面であるとする．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

次の和の値を求めよ．$$\displaystyle\sum_{m=1}^{100}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}{\left\lfloor \dfrac{m+100}{m+n-1} \right\rfloor}$$

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。