hakkyonium

問題文

正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：

$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である

$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。

解答形式

例）答えで解答してください。

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください

問題文

πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．

また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．

例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。

このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．

解答形式

算用数字で回答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。

問題文

$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．

直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．

この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$

また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．

線分 $KC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

整数 $n$ のうち， $n^5+2n^4+32$ が素数となるものは存在しますか．

解答形式

存在するならその例を，しないなら簡単な証明をお書き下さい．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1×1$ のタイルが $18644671$ 枚あり，それを上から $1,2,3,……,6106$ 枚ずつ階段状に並べます．

Hiziri-Hikaru君はこれらのタイルを， $6106$ 個のブロックに分割しようと考えました．

ブロックの定義は以下の通り．

ブロックとは
・長方形を成すような $n$ 個のタイルのこと(その長方形の縦横を $m,l$ とする時， $m×l=n$ を満たす)

・ブロック同士が重なり合うことはない(あるタイルが$2$つ以上のブロックに属すことはない)

タイルの分割方法は $K$ 通りと書けるので， $K$ を素数 $6101$ で割った余りを求めて下さい．

ただし，いずれのブロックにも含まれないようなタイルが存在しないように分割するとし，分割する順番は考慮しないとします．

解答形式

半角数字で入力して下さい．