次のルールで整数を10個1列に並べて書く ・左端は21である ・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである あり得る整数の列はいくつありますか
平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか
・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は (x+1,y),(x,y+1) のいずれかである ・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点 (2t,2t) を通過することはできない (1≦t≦3,tは整数)
2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。
条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。
N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。
$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。 ・要素が3つ ・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる
n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。
※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。
平安時代には次のルールがある。 ・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。 ・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。 1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。 (寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)
ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。 1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。
Aさんは次のゲー厶を行った。 Aさんはコインを持っていない。 2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。 ①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。 ②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024) 条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて $\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$ と表せるので、a+bを求めよ。
次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。
