Youteru

問題文

太郎と花子は正十一角形を眺めています。
太郎は言いました。

半径1の円に内接する正十一角形の2つの頂点を結ぶ線分は$ _{11}C_2$本ありま
すが、それらの長さの総積は?

花子は言いました。

正十一角形の頂点を結ぶ線分を0本以上引く方法は何通りありますか。ただし、端点込みで2つの線分は交わってはいけません。回転して一致するものは区別します。

解答形式

太郎の答えは$a$と平方因子を持たない$b$を用いて$ a \sqrt{b}$と表すことができます。花子の答えは自然数cです。
$a+b+c$を解答してください。

問題文

$d(n)$を$n$の約数の個数とします。$d(n^3)=5d(n)+2$となる$800$以下の$n$の総和を求めて下さい。

問題文

$x^3+x^2+x-1=0$ の解を$\alpha,\beta,\gamma$として、$\alpha^{514}+\beta^{514}+\gamma^{514}$を1009で割った余りを求めて下さい。

問題文

BくんとAちゃんはゲームを行う。
Bくんはゲームに勝利したらAちゃんと付き合うことができるが、負けたら付き合うことができない。

ルール
3つの飴の山X,Y,Zがある。Bくんを先手、Aちゃんを後手として、交互に、どれか一つの山を選んで好きな個数飴を食べる。ただし、一度に飴を2026個食べることはできない。2027個以上食べることは可能である。飴を食べ尽くした方が勝ちである。

Bくんの担任の先生は、X,Y,Zそれぞれに1個以上10000個以下の飴を配置する。そのうち、BくんがAちゃんと付き合える場合の数を求めよ。ただし、BくんはAちゃんと付き合いたいものとし、AちゃんはBくんと付き合いたくないものとする。

問題文

鋭角不等辺三角形ABCが存在する。
内心をI,外心をO,垂心をH、重心をGとする。∠Aの内側にある傍心をJとする。
内接円とAB,ACとの接点をD,Eとして、CD,BEの交点をUとする。BC上にPをとり、BCの中点をM,AからBCに下ろした垂足をFとすると、FPの中点はMとなった。AHの中点をKとして、KMの中点をNとする。また、IUと、Pを通りAFと平行な直線の交点をLとする。JからBCに下ろした垂線とIOの交点をVとする。さらに、Aを含まない方の弧BCの中点をBCで対称移動させた点をA1とし、線分CH上にCZ=2DIとなるZをとり、三角形A1ZHの外心をWとする。GWとNVの交点をXとし、GVとXLの交点をYとする。XY/YLを求めよ。

解答形式

解答は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので、$a,b$を($10$進法において)この順に連結して出力して下さい。

問題文

次を満たす整数の組(a,b)はいくつありますか。
・あるa<x<b,b<y<b+1が存在し、
x^4+x^3+y^2-yx-x=2026を満たす

問題文

１から10^100までの数字がかかれた球が各数字ごとに10^100個ずつあり、その中から5個選んで数珠(輪っか)を作る。この数珠の中から連続するk個の球を選び、その和を求めるという作業を何回か繰り返すことで1から21までの数が作れるような数珠の作り方(5つの球の選び方)を全て答えよ。

解答形式

ある数珠に対して、ある球から始めて構成する数珠を並べる方法は10通りありますが、その球の数字を$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$として、$S=10^8P_1+10^6P_2+10^4P_3+10^2P_2+P_5$が最小となるSを得ます。

条件を満たす全ての数珠(回転、反転で一致するものは区別しない)に対してSを求めて、その総和を解答して下さい。

問題文

K(x)=x^5+2x^3+xとy軸とy=ax-52a+31が囲まれた部分(境界含む)の格子点の個数が2026となるaは？

問題文

5×5のマス目に区別できない同じ形状の4つのペントミノを敷き詰めます。このとき、配置を90度回転させても一致しました。このような敷き詰め方は何通りありますか。ただし、反転して一致するものは区別します。

問題文

$$
\sum_{i=6}^{10}\frac{\prod _{j=0}^{4}( i-j) -1}{\prod _{j=0}^{4}(i-j)!}
$$
を既約分数で表した際の分子を求めよ

問題文

p,q,rを素数とする。
p,q,rが$322p^6+15q^5+1483=4r^6$を満たすとき、
(p,q,r)の組を全て答えよ

解答形式

条件を満たす全ての(p,q,r)に対して、$10^4p+10^2q+r$の総和を解答する

問題文

直方体$ABCD-EFGH$があります。$AB=14,AD=7 \sqrt{10},AE=2 \sqrt{7}$
のとき、$ \angle BDG$を度数法で求めよ。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。

※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。

平安時代には次のルールがある。
・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。
・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。
1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。
(寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)

平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか

・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は
(x+1,y),(x,y+1) のいずれかである
・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点
(2t,2t) を通過することはできない
(1≦t≦3,tは整数)

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。