KC2026-9

問題文

鋭角不等辺三角形ABCが存在する。
内心をI,外心をO,垂心をH、重心をGとする。∠Aの内側にある傍心をJとする。
内接円とAB,ACとの接点をD,Eとして、CD,BEの交点をUとする。BC上にPをとり、BCの中点をM,AからBCに下ろした垂足をFとすると、FPの中点はMとなった。AHの中点をKとして、KMの中点をNとする。また、IUと、Pを通りAFと平行な直線の交点をLとする。JからBCに下ろした垂線とIOの交点をVとする。さらに、Aを含まない方の弧BCの中点をBCで対称移動させた点をA1とし、線分CH上にCZ=2DIとなるZをとり、三角形A1ZHの外心をWとする。GWとNVの交点をXとし、GVとXLの交点をYとする。XY/YLを求めよ。

解答形式

解答は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので、$a,b$を($10$進法において)この順に連結して出力して下さい。

問題文

K(x)=x^5+2x^3+xとy軸とy=ax-52a+31が囲まれた部分(境界含む)の格子点の個数が2026となるaは？

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

１から10^100までの数字がかかれた球が各数字ごとに10^100個ずつあり、その中から5個選んで数珠(輪っか)を作る。この数珠の中から連続するk個の球を選び、その和を求めるという作業を何回か繰り返すことで1から21までの数が作れるような数珠の作り方(5つの球の選び方)を全て答えよ。

解答形式

ある数珠に対して、ある球から始めて構成する数珠を並べる方法は10通りありますが、その球の数字を$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$として、$S=10^8P_1+10^6P_2+10^4P_3+10^2P_2+P_5$が最小となるSを得ます。

条件を満たす全ての数珠(回転、反転で一致するものは区別しない)に対してSを求めて、その総和を解答して下さい。

問題文

次を満たす整数の組(a,b)はいくつありますか。
・あるa

問題文

5×5のマス目に区別できない同じ形状の4つのペントミノを敷き詰めます。このとき、配置を90度回転させても一致しました。このような敷き詰め方は何通りありますか。ただし、反転して一致するものは区別します。

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

問題文

図 $A$ の $16$ 個の正三角形のマスからなる図形について，その各マスを白または黒のいずれか $1$ 色で塗
ることを考えます．以下の条件を満たす塗り方をすべて求めてください．ただし，回転させて一致するものは同じと考えます．また，図は印刷して思考に用いてもらっても構いません．

• 図 $B$ に示す図形と合同であるような図 $A$ の任意の4マスの組の選び方は $8$ 通りあるが，その組の塗り方は互いに異なる．

ただし，回転させて一致する塗り方は同じとして考え、そのような図 $B$ の塗り分け方も8通りある．

解答する数値

すべての塗り方に対し，黒で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を以下の解答形式に合わせて解答してください．

回転させて一致するものは同じと考えるため，この数値は点対称にしてあります．つまり，白で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を解答しても同じ値になります．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。