RS杯 11

問題文

AさんとBさんが以下のようなゲームをする.

・$n$を正の整数とし, $1\leq p,q\leq 2n$を満たす整数 $p, q$ に対し座標平面上の点 $(p,q)$ であらわされるような点全体を$S$, $1\leq r,s\leq 2n-1$を満たす整数 $r,s$ に対し座標平面上の点$(r+\tfrac12,s+\tfrac12)$であらわされるような点全体を$T$とする.
・ Aさんが, $S$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これを, どの点とも結ばれていないような$S$上の点が存在しなくなるまで繰り返す. ただし, どの2線分も, 端点を含め共有点を持ってはいけない.
・ Bさんが, Aさんがひいたどの線分とも端点を含め共有点を持たないように, $T$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これをBさんが好きなだけ繰り返す. このとき, Bさんが引いた異なる2線分が共有点をもってもかまわない.
・Bさんが引いた線分によって多角形が一つでも形成されていればBさんの, そうでない場合はAさんの勝利とする.

互いが最善を尽くすとする.ここでAさんは長さが$\sqrt2$の線分を引く回数をなるべく減らしたうえで勝利したい. $n=2026$のとき, Aさんは最低何本の長さ$\sqrt2$の線分を引けば勝利できるか.

解答形式

整数でお答えください.

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

太郎と花子は正十一角形を眺めています。
太郎は言いました。

半径1の円に内接する正十一角形の2つの頂点を結ぶ線分は$ _{11}C_2$本ありま
すが、それらの長さの総積は?

花子は言いました。

正十一角形の頂点を結ぶ線分を0本以上引く方法は何通りありますか。ただし、端点込みで2つの線分は交わってはいけません。回転して一致するものは区別します。

解答形式

太郎の答えは$a$と平方因子を持たない$b$を用いて$ a \sqrt{b}$と表すことができます。花子の答えは自然数cです。
$a+b+c$を解答してください。

問題文

正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$AB<AC$ であり，$\angle BAC > 90^\circ$ なる三角形 $ABC$ があり，外接円の中心を $O$ とします．また，点 $C$ を通り点 $A$ で直線 $AB$ に接する円を $\Gamma_{1}$ ，中心を $P$ ，点 $B$ を通り点 $A$ で直線 $AC$ に接する円を $\Gamma_{2}$，中心を $Q$ とします．$\Gamma_{1}，\Gamma_{2}$ の交点のうち，点 $A$ ではないものを $R$ とすると，
$$AP=14,AQ=10，OR=6$$
が成り立ちました．$AC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$n$ の約数の個数を $d(n)$ で表します．以下の式が成り立つ $n$ をすべて求めてください．
$$9(d(n)+d(n+1))^2=4n+409$$
ただし，$409$は素数です．

解答する数値

$n$ の総和を以下の解答形式に合わせて解答して下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$