RS杯 11

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$AB<AC$ であり，$\angle BAC > 90^\circ$ なる三角形 $ABC$ があり，外接円の中心を $O$ とします．また，点 $C$ を通り点 $A$ で直線 $AB$ に接する円を $\Gamma_{1}$ ，中心を $P$ ，点 $B$ を通り点 $A$ で直線 $AC$ に接する円を $\Gamma_{2}$，中心を $Q$ とします．$\Gamma_{1}，\Gamma_{2}$ の交点のうち，点 $A$ ではないものを $R$ とすると，
$$AP=14,AQ=10，OR=6$$
が成り立ちました．$AC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$n$ の約数の個数を $d(n)$ で表します．以下の式が成り立つ $n$ をすべて求めてください．
$$9(d(n)+d(n+1))^2=4n+409$$
ただし，$409$は素数です．

解答する数値

$n$ の総和を以下の解答形式に合わせて解答して下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$AB < AC$ をみたし，$\angle B$ が鋭角であるような三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ をとり，線分 $AD$ の中点を $E$ とすると，$AB = AD , \angle AEB = 2\angle ACB$ が成立した．また $\angle AEB$ の二等分線と線分 $AC$ は $C$ でない点 $F$ で交わり，$CD = 2 , EF = \sqrt{3}$ が成立した．このとき線分 $BD$ の長さは，平方因子を持たない正整数 $a$ と正整数 $b , c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} + b}{c}$ と表されるので，積 $abc$ を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB<AC<BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします．$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると，$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり，以下が成り立ちました．
$$AB=BQ，AC=CP，PQ=12$$
この時，三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$0,1,2,3$ の数字が $11$ 個，黒板に横並びで書かれています．以下の操作を繰り返したとき，$0$ となる初期配置は何通りありますか?

• 隣り合う項の和を $3$ で割ったあまりに同時に書き換える．

例えば，$01233210$ は一度操作を行うと，$1020201$ となります．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。