第2問

問題文

$$
\sum_{i=6}^{10}\frac{\prod _{j=0}^{4}( i-j) -1}{\prod _{j=0}^{4}(i-j)!}
$$
を既約分数で表した際の分子を求めよ

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

鋭角不等辺三角形ABCが存在する。
内心をI,外心をO,垂心をH、重心をGとする。∠Aの内側にある傍心をJとする。
内接円とAB,ACとの接点をD,Eとして、CD,BEの交点をUとする。BC上にPをとり、BCの中点をM,AからBCに下ろした垂足をFとすると、FPの中点はMとなった。AHの中点をKとして、KMの中点をNとする。また、IUと、Pを通りAFと平行な直線の交点をLとする。JからBCに下ろした垂線とIOの交点をVとする。さらに、Aを含まない方の弧BCの中点をBCで対称移動させた点をA1とし、線分CH上にCZ=2DIとなるZをとり、三角形A1ZHの外心をWとする。GWとNVの交点をXとし、GVとXLの交点をYとする。XY/YLを求めよ。

解答形式

解答は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので、$a,b$を($10$進法において)この順に連結して出力して下さい。

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

太郎と花子は正十一角形を眺めています。
太郎は言いました。

半径1の円に内接する正十一角形の2つの頂点を結ぶ線分は$ _{11}C_2$本ありま
すが、それらの長さの総積は?

花子は言いました。

正十一角形の頂点を結ぶ線分を0本以上引く方法は何通りありますか。ただし、端点込みで2つの線分は交わってはいけません。回転して一致するものは区別します。

解答形式

太郎の答えは$a$と平方因子を持たない$b$を用いて$ a \sqrt{b}$と表すことができます。花子の答えは自然数cです。
$a+b+c$を解答してください。

問題文

図 $A$ の $16$ 個の正三角形のマスからなる図形について，その各マスを白または黒のいずれか $1$ 色で塗
ることを考えます．以下の条件を満たす塗り方をすべて求めてください．ただし，回転させて一致するものは同じと考えます．また，図は印刷して思考に用いてもらっても構いません．

• 図 $B$ に示す図形と合同であるような図 $A$ の任意の4マスの組の選び方は $8$ 通りあるが，その組の塗り方は互いに異なる．

ただし，回転させて一致する塗り方は同じとして考え、そのような図 $B$ の塗り分け方も8通りある．

解答する数値

すべての塗り方に対し，黒で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を以下の解答形式に合わせて解答してください．

回転させて一致するものは同じと考えるため，この数値は点対称にしてあります．つまり，白で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を解答しても同じ値になります．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.

• $f(0,0)=1$
• $n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.

$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を 素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．