roku_omc

問題文

$10201$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$100010001$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$6250004$ を暗算で素因数分解してください．

解答形式

素因数を小さい方から半角の空白で区切って半角数字で入力して下さい．
例) $12\rightarrow$ 2 2 3

問題文

$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします．
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください．

解答する数値

求めた全ての組について，$a\times b$ を計算し，以下の解答形式に合わせその総和を解答してください．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

数列 ${a_n}$ は $1\sim 100$ の正整数の並び替えであり，以下が成り立っています．

• $1\leqq m\leqq 99$ に対して$a_{m}+a_{m+1}\equiv 1\pmod{2}$
• $1\leqq n\leqq 98$ に対して$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\equiv 0\pmod{3}$

数列 ${a_n}$ としてありうるものは何通りありますか．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$1$ 以上 $n$ 以下の自然数であって，$n$ と互いに素なものの個数を $\phi(n)$ とします．
$$0\equiv \phi(n)\equiv\phi(n+1)\pmod{26}$$
となるような正の整数のうち，最小のものを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$$\left\lfloor66\sum_{k=1}^{66}2^k\sin^2\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2^{k}}\right)\right\rfloor$$ の値を求めて下さい．$\lfloor a \rfloor$ で $a$ の整数部分を表すものとします．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=i}^{66}\frac{1}{j}$$の値を求めて下さい．