シグマコンテスト1A

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

$$ \sum_{k=1}^{66}k^2(k^2-1)(k^2-4)$$
の値を求めて下さい．

$$\left\lfloor66\sum_{k=1}^{66}2^k\sin^2\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2^{k}}\right)\right\rfloor$$ の値を求めて下さい．$\lfloor a \rfloor$ で $a$ の整数部分を表すものとします．

問題文

$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，

・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$