シグマコンテスト1C

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=i}^{66}\frac{1}{j}$$の値を求めて下さい．

$$\left\lfloor66\sum_{k=1}^{66}2^k\sin^2\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2^{k}}\right)\right\rfloor$$ の値を求めて下さい．$\lfloor a \rfloor$ で $a$ の整数部分を表すものとします．

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

問題文

$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，

・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

$n$ を正の整数，$\phi(n)$ を $n$ 以下で $n$ と互いに素な正の整数の個数を表すものとする．
$\phi(n) \le N$ をみたす $n$ の最大値が $30$ の倍数でないような $N$ の中で，最大のものを求めよ．

解答形式

整数で解答してください．