数研貢献コン(F)

問題文

$0\leq i\leq j\leq 1000$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される組からなる集合 $S$ であって，以下の条件をすべてみたすものの個数を求めてください．

• $(1000,1000)\in S$ ．
• $0\leq k\leq 1000$ なる整数 $k$ であって $(0,k)\in S$ であるものはちょうど $2$ 個存在する．
• $0\leq x \leq y \leq 999$ なる任意の整数 $x,y$ に対し，集合
  $$S\cap\big\lbrace (x,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\big\rbrace$$
  の要素は偶数個である．

【TMO 8】