sembri総集編.G

三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とすると、点 $D$ は線分 $BC$ 上にあった。

直角三角形 $ABD$ の内接円の半径を $r_1$、直角三角形 $ACD$ の内接円の半径を $r_2$、三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とする。

$r_1 = 4, r_2 = 6, r = 7$ であるとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。

問題文

素数の組 $(p,q)$ であって，以下を満たすものを全てに対する， $2$ つ目の条件である「平方数」の総和を求めよ.

• $p \leq 2q$

• $p^3+\dfrac{q!}{2}-3$ が平方数となる

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，四角形 $KSHD$ は凹四角形となりさらに以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ において，その垂心を $H$，辺 $BC$ を $3 \colon 4$ に内分する点を $D$ とする.直線 $AD$ と直線 $BH,CH$ の交点を順に $P,Q$ とすると三角形 $HPQ$ は一辺 $1$ の正三角形となった.このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めよ.

問題文

$AD \parallel BC$ なる台形 $ABCD$ があり，直線 $AC$ 上に $P$ をとると，$\angle PBC=\angle BCD$ 及び以下が成り立った.

$$AD=12,DC=14,PB=20,PC=25$$

このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を求めよ.

鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。

解答形式

答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

問題文

正整数 $n$ に対し，$100$ との正の公約数の個数を $f(n)$ とおくとき，以下の値を求めよ.　
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} f(k)$$

問題文

角 $C$ が直角となるような三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ をとると，角 $DAC:$ 角 $BAD=1:2$，$AD$ の長さは $3 \mathrm{cm}$，$AB$ の長さは $5 \mathrm{cm}$ となりました．このとき，$BD:DC$ を求めてください．ただし，求める比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので $a+b$ の値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

緑色の正方形ABCDと、紫色の正方形EFGHがあり、それぞれ1辺6cmである。点Aと点E、点Bと点F、点Cと点G、点Dと点Hがそれぞれ重なるように正方形を重ねる。(緑色の正方形が上にある。)　そして辺ABを3等分する点をとり、点Aに近い方を点Iとする。また辺EFを3等分する点をとり、点Fに近い方を点Jとする。
今、緑色の正方形のみを重心を中心として回転させ、点Iと点Jが重なったところで回転を止めた。このとき、上から見える紫色の部分の面積の合計はいくらか。

解答形式

答えは◯cm^2となるので、◯の部分のみを答えてください。

余談

2年前(小6)のときにルービックキューブを触りながら作った問題です。問題文が長ったらしくて読みにくいと思いますがご了承ください。ちなみにこの問題は当時scratchにも投稿しました。

問題文

三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $BH$ と直線 $AC$ との交点を $E$ ，直線 $CH$ と直線 $AB$ との交点を $F$ とすると，$3$ 点 $E,O,F$ は同一直線上にあった．$AH=8,AO=6$ のとき，四角形 $EFBC$ の面積の二乗の値を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。