Pirozzz

問題文

$2$ つの平方数の差として表されない $2027$ 以下の正の整数の個数を求めてください．
【中学入試予想 1-3】

問題文

$\angle C$ が鈍角である三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると $\angle ABC=\angle MAC=30^\circ$ が成り立ちました．このとき $\angle BCA$ を度数法で求めてください．
【中学入試予想 3-3】

問題文

いずれも身長の異なる $6$ 人を複数の列に並べる方法であって，全ての列についてその中で最も身長の低い人が先頭にいるものは何個ありますか．
【中学入試予想 4-3】

問題文

正の整数 $x$ について $x$ と互いに素な $x$ 以下の正の整数の個数を $\varphi(x)$ と表します．このとき，以下の値が収束することが保証されるのでこの値を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n)}{1.1^n-1}$$
【TMO 7】

問題文

以下を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ 全てについて $abc$ の総和を求めてください．
$$a^2+b^2+c^2=2000$$
【TKMC 没】

問題文

$0\leq i\leq j\leq 1000$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される組からなる集合 $S$ であって，以下の条件をすべてみたすものの個数を求めてください．

• $(1000,1000)\in S$ ．
• $0\leq k\leq 1000$ なる整数 $k$ であって $(0,k)\in S$ であるものはちょうど $2$ 個存在する．
• $0\leq x \leq y \leq 999$ なる任意の整数 $x,y$ に対し，集合
  $$S\cap\big\lbrace (x,y),(x,y+1),(x+1,y+1)\big\rbrace$$
  の要素は偶数個である．

【TMO 8】

問題文

正の整数 $x$ について $x$ と互いに素な $x$ 以下の正の整数の個数を $\varphi(x)$ と表します．このとき，以下の値が収束することが保証されるのでこの値を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n)}{1.1^n-1}$$
【TMO 7】

問題文

$\angle C$ が鈍角である三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると $\angle ABC=\angle MAC=30^\circ$ が成り立ちました．このとき $\angle BCA$ を度数法で求めてください．
【中学入試予想 3-3】

問題文

$7$ 以下の非負整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_{11})$ であって，以下を満たすものの個数を求めてください．

• $a_1=a_{11}=1$
• $i=1,2,\ldots,10$ について $a_i+a_{i+1}$ は奇素数．

【TKMC 3】

問題文

正の整数 $x$ についてその正の約数の個数を $d(x)$ と表します．このとき，以下の値がいずれも整数となるような正の奇数 $n$ と素数 $p$ の組全てについて $np$ の総和を求めてください．
$$\sqrt{\dfrac{n-61}{d(n)}}，\dfrac{d(n+p)^2+9}{d(n)d(d(n))}，\dfrac{2^np}{d(d(n))}$$
【TKMC 7】

11/02 18:38追記
一番左の条件をコンテストの元の問題文に戻しました。

問題文

以下の値の正の約数の個数を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{m=0}^{499}\sum_{n=m}^{499}{}_{999}\mathrm{C}_{499-n}\cdot{}_{n+m}\mathrm{C}_{n-m}\cdot4^m$$
【TKMC 8】

問題文

以下の値の整数部分を求めてください．
$$\displaystyle\sum_{n=0}^{44} \dfrac1{\cos n^\circ\cos (n+1)^\circ}$$
【TMO 5】