モンモール数だよ

鋭角三角形 $ABC$ において、各辺の長さは $AB = 15, BC = 14, CA = 13$ である。
点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし、線分 $AD$ を直径とする円をかく。
直線 $AB, AC$ と円の $A$ と異なる交点をそれぞれ $E, F$ とし、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とする。
点 $P$ から円に引いた 2 本の接線の接点を $T_1, T_2$ とするとき、線分 $T_1T_2$ の長さを求めよ。

解答形式

答えは$$\frac{a}{b}$$と表せるので${a+b}$を答えよ。

問題文

a^3+b^2+c=11を満たす正の実数a,b,cについて、積abcの最大値を求めてください

解答形式

求める値は異なる有理数w,x,y,zを用いてw^x・y^zと表されるので、積wxyzを解答してください

問題文

nを正の整数とし、
$$
ω(n)=nの異なる素因数の個数
\\
Ω(n)=nの重複込みの素因数の個数
$$
とします。
例えば、
$$
2100=2^{2}×3×5^{2}×7
\\
7=7
$$
なので、

$$
ω(2100)=4
\\
Ω(2100)=2+1+2+1=6
\\
ω(7)=1
\\
Ω(7)=1
$$
となります。

$$
\sum_{n=1}^{256} Ω(n)-ω(n)
$$
を求めなさい。
ただし、√256以下の素数は2,3,5,7,11,13です。

解答形式

半角正整数

円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB = BC$ を満たしている。
対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$BE = 4, ED = 5$ であった。
四角形 $ABCD$ の周の長さが $26$ であるとき、線分 $AD$ と $CD$ の長さのうち、大きい方の値を求めよ。

問題文

複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$
$$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$
を満たします．このような組はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

問題文

$xy$ 平面上に $3$ つの円
$C_1:x^2+y^2=1$
$C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$
$C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$
がある．
$C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする．
$AB+BC-CA$ の値を求めよ．

解答形式

整数で回答してください．

問題文

正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。

解答形式

答えは複数あるので, その総和を入力してください。

問題文

nを自然数とし、関数f(x)とg(x)を$$f(x)=x^{n},g(x)=x^{n+1}$$
とする。y=f(x)とy=g(x)に囲まれた部分をS_nとしたとき、
$$\sum_{n=1}^{∞} S_n$$の値を求めよ。

解答形式

・分数の場合は $$分子/分母$$と答えて。
・√の内部が一桁の数字なら$$√数字$$、二桁以上の数値または数式から$$√(数値や数式)$$と答えて。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

問題文

$AB＞AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，線分 $AH$ を直径に持つ円と三角形 $BHC$ の外接円の交点を $X$ と定めます．

直線$AX$ と直線 $BC$ の交点を $N$，線分 $BC$ に対して点 $X$ と対称な点を $K$ とします．

この時次が成り立ちました．$$XN=7，AC=28$$

また，直線 $AN$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $U$ ，点 $A$ から線分 $BC$ へ下ろした垂線の足を $D$ とすると，点 $X,U,K,D$ は同一円周上にあったそうです．

線分 $KC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.