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問題文

$$\dfrac{m!}{n!}=mn$$を満たす非負整数の組$(m,n)$について、$m+n$の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ.
(ただしpは素数とする)

(半角の自然数が答え)

$$
log_{4}(\frac{1}{16})^{r+1}=r^{2}+3r+2
$$
$$
(r>1)
$$

問題文

ある素数$p$に$1$を足したところ、平方数になりました。このような$p$としてあり得る値を全て求めてください。

解答形式

$p$としてあり得る値の総積を求めてください。

問題文

実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ が, 任意の実数 $x,y$ について
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
を満たしており $,$ さらに $f(7)=13$ が成り立っています. $f(28)$ を求めてください.\

解答形式

半角で解答してください

問題文

$1$以上$2027$以下の整数のうち0個以上に印をつける方法は$2^{2027}$通りありますが、そのうち次の条件を満たすものの個数を$N$とします。$N$の正の約数の個数を求めてください。

条件: 印がついている整数からどのように相異なる$2$つを選んでも、その和は$2000$にならない。

解答形式

半角整数で答えてください。

問題文

次の問いに当てはまるx値を求めよ

この式はx/3になる
$$ \frac{2027^{2027} - 2027}{2027^{2026} - 1} + \left( \frac{2026^{2} + 2026}{2027} - 2026 \right)^{2027}$$

解答形式

x=は必要ありません。xに当てはまる数値のみ解答すれば良いです。

問題文

あなたは友達と二人でじゃんけんをしています。こういう問題って普通は何回かやった時にあなたが勝つ確率を求めたりするのが主流ですが、決着がつくまでじゃんけんを続けることもありますよね。
...というわけで決着がつくまで二人でじゃんけんをしたとき、あなたが勝つ確率を求めてください。

解答形式

分数の形なので、「A/B」と打ってください。スペースは要りません。

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

ある神社ではおみくじを販売していて、おみくじの内容について次のようなことが分かっています。

・くじは2026本あり、それぞれに運勢が1つ書いてある。
・運勢は7種類あり、大吉、中吉、小吉、凶、大凶、吉、平である。
・(大吉の本数):(中吉の本数)=5:7
・(中吉の本数):(小吉の本数)=9:11
・(小吉の本数):(凶の本数)=7:4
・(凶の本数):(大凶の本数)=11:8
・(吉の本数):(平の本数)=5:2

平の本数を求めてください。

解答形式

答えの数字を半角数字で入力してください。

雑談

ここ3年ぐらい吉しか引いてないです。
(追記)今年も吉だったので4年連続です。

問題文

複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$
$$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$
を満たします．このような組はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください