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問題文

数列${a_n}$が$$a_1=\frac{10}{31},a_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{n^n}a_n$$を満たしている。
$a_{1031}$の値を求めよ。

誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。

解答形式

$a_{1031}$の値は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$pq$が$2025$で割り切れる回数を半角数字で入力してください。

問題文

$x$を実数とする。
$$x^2+1-\frac{1}{x^2+1}$$
の最小値を求めよ。

解答形式

最小値の値を半角数字で入力してください。

問題文

$0$以上$9$以下の整数を順番を区別して$1031$個選び、それらを$a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031}$とする。(重複も許す)
$a_1+a_2+a_3+…+a_{1030}+a_{1031}$が$9$で割り切れない奇数となるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を求めよ。

解答形式

条件を満たす組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を$N$個とします。$N$の各桁の和を半角数字で入力してください。

問題文

$n$を非負整数とする。
$\sqrt{n^2+7n-14}$が整数となるような$n$の値を全て求めよ。

解答形式

$n$の値を小さい順に一行区切りで入力してください。

問題文

ある非負整数$n$に対し、$f(n)$で$n$の各桁の積を表すものとする。
$n=f(n)$を満たす$n$の個数を求めよ。

解答形式

有限ならば半角数字でその個数を、無限ならば$-1$を入力してください。

問題文

$x,y$を非負整数とする。
$10x+31y=1031$
を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。

誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。

解答形式

組$(x,y)$について、$x+y$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$1$が書かれたカードからなるカードの束
$2$が書かれたカードからなるカードの束
$3$が書かれたカードからなるカードの束
$4$が書かれたカードからなるカードの束
$5$が書かれたカードからなるカードの束
$6$が書かれたカードからなるカードの束
$7$が書かれたカードからなるカードの束
$8$が書かれたカードからなるカードの束
$9$が書かれたカードからなるカードの束　が$1$つずつあります。

$A$さんは異なるカードの束を$9$つまで選び、その後$A$さんはこれらのカードの束に対して以下の操作を$n$回行います。
操作
選んだカードの束のうち一つを選びカードを$1$枚引く。

操作を$n$回終えた時点で$A$さんは$n$枚のカードを持っています。$A$さんは持っているカードに書かれている数字の総和と総積が等しくなるようにカードを引きたいです。

このようなカードの引き方が存在する束の選び方の総数を求めてください。

ただし、$n$は$2$以上の整数とし、カードの束にカードはいくらでもあるとします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。

問題文

$p,q$を素数とする。
$pq(p+q)$が平方数となるものをすべて求めよ。

解答形式

ありうる組$(p,q)$について$pq$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

平面に重複なく$2N$個の点を打ち、任意の点を$2$個ずつ選んで$N$本の直線を作る。
ある打った$2N$個の点に対して、どの直線も交わらないような結び方の総数を$S(N)$とする。$S(N)$が取りうる$2025$以下の正整数値をすべて求めよ。
ただし、$N$は正整数とする。

解答形式

$S(N)$が取りうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$f^{1031}(x)=f(x)$を満たし、かつ$f(1031)=1031$である多項式関数$f(x)$をすべて求めよ。
ただし、$f^{1031}(x)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{1031個}(x)\cdots))$とします。

解答形式

簡単な証明もお願いします。

問題文

正$10$角形が半径$31$の円に内接している。
正$10$角形の面積を求めよ。

解答形式

正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。