03

問題文

$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。

解答形式

$N$ の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.

問題文

自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。

解答形式

証明する形式。

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

問題文

ある素数$p$に$1$を足したところ、平方数になりました。このような$p$としてあり得る値を全て求めてください。

解答形式

$p$としてあり得る値の総積を求めてください。

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、i<j<k を満たす正整数 i,j,k であって、
左から i 文字目が m、j 文字目が o、k 文字目が l であるものを 1 組選び、
その 3 文字を削除する。

最終的に文字列を空にすることができるような文字列の個数を​$a_{n}$とします。

例えば、molmol,momlol,momollなどは$a_{2}$の一部として数えられますが、
lmolom,mollom,mmloolなどはmol部分文字列を途中で取り出せなくなるため、$a_{2}$に含まれません。

$a_{n}≧6.02×10^{23}$となる最小のnを求めてください。

※ 数値計算に電卓を用いて構いません。

解答形式

半角で正整数を入力(空白なし)

問題文

n2^n+1が平方数となるような自然数nの総和を求めよ

解答形式

例）8と9→17
7のみ→7

問題文

非負整数からなる組$(a,b)$であって
$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$　および　$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$
がともに整数となるものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。

問題文

単位円状の3点P,Q,Rは重心が(1/3,0)となるように動く。三角形PQRの面積の最大値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。
答えのみ　数値をそのまま記入してください

問題文

$$\dfrac{m!}{n!}=mn$$を満たす非負整数の組$(m,n)$について、$m+n$の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。