prime and factorial

問題文

$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。

解答形式

$N$ の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$m,n$を$2$以上の整数、$p$を$m$以下の素数とします。
$$m^p-1=p^n$$
を満たす組$(m,n,p)$について、$m+n+p$の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。

解答形式

証明する形式。

問題文

$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。

解答形式

答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。

問題文

$$x≧5のとき\hspace{2mm}
(x-1)^{x+1}>x^{x}\hspace{2mm}が成り立つことを示せ。$$

$$ただし、e^{1.375}=3.9\hspace{3mm}e^{-1.375}=0.25とする。$$

解答形式

記述でお願いします

$$数列a_{n}を次のように定義する。$$$$a_{1}=1,a_{2}=1,$$$$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}(n\in{\mathbb N} )$$$$また、a_{n}の和をS_{n}とおく。$$$$この時[S_{2025}]<4130を示せ。$$$$ただし[k]はk以下の最大の整数とする。$$

$$ 数列a_{n}を次のように定義する$$$$a_{1}=4,a_{2}=1,a_{3}=16,a_{4}=9……
$$$$a_{2n-1}=(2n)^{2},a_{2n}=(2n-1)^{2}$$$$この時一般項a_{n}と和S_{n}を奇偶で場合分け$$$$せず1つの式でそれぞれ求めよ
$$$$(ただしS_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}とする)$$$$解答法はa_{n}=...,S_{n}=…です$$

問題文

凸四角形ABCDが∠ABD＝12°、∠DBC＝84°、∠ADB＝18°、BD＝BCを満たすとき、角ACDは何度ですか。

解答形式

半角数字で解答してください。

a,bはともに正の数とする。

長さに上限がない定規が二つある。二つの定規はともに等間隔に目盛が刻んである。定規Aの目盛の間隔はaで、定規Bの目盛の間隔はbである。
定規Aと定規Bが目盛が二か所で重なることはないための、a,bに関する必要十分条件を求めよ。

問題文

次の文章の$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$に当てはまる数を求めよ。

$$
a_{n} = \int_{1}^{e^{0.1}}(\log{x})^{n}dx \qquad (n=0,1,2,\dotsc)
$$とする。部分積分法を用いることで，漸化式
$$
a_{n} = (\fbox{1})^{n}\cdot e^{\fbox{2}} - na_{n-1} \qquad (n\geq1)
$$を得る。$a_{3}$は，有理数$\fbox{3},\fbox{4}$を用いて
$$
a_{3} = \fbox{3}e^{\fbox{2}}+\fbox{4}
$$と表せる。$1\leq x\leq e^{0.1}$のとき$0\leq(\log{x})^{n}\leq0.1^{n}$より$0\leq a_{n}\leq(e^{0.1}-1)\cdot0.1^{n}$である。$n=3$に対してこの不等式を用いることにより$e^{-0.1}$を小数点第4位まで求めることができる。$e^{-0.1}$の小数点第5位以下を切り捨てた小数点第4位までの値は$\fbox{5}$である。

また，$\displaystyle b_{n}=\frac{(-1)^{n}e^{-0.1}}{n!}a_{n}$とすることで$a_{n},b_{n}$の一般項は容易に求められる。
$$
0 \leq |b_{n}| = \frac{e^{-0.1}a_{n}}{n!} < \frac{1-e^{-0.1}}{10^{n}\cdot n!}
$$より，はさみうちの原理から$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|b_{n}| = 0$，つまり
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-0.1)^{n}}{n!} = e^{\fbox{6}}
$$が求められる。

解答形式

$\mathrm{i}=1,\dotsc,6$に対し，$\fbox{i}$に当てはまる数を$\mathrm{i}$行目に半角で答えてください。例えば，$\fbox{1},\dotsc,\fbox{6}$にそれぞれ$1.2,3.45,-6,7.89,1.2356,-2.3$が当てはまるときは

1.2
3.45
-6
7.89
1.2356
-2.3

と解答してください。

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数$f$であって、任意の実数$x,y$に対して$$f(f(x)+y)=2f^{[|y|]}(x)+f^{[|x|]}(y)$$を満たすものを全て求めてください。ただし、$f^{s}(t)$は$$f^{s}(t)=f(f(f(…f(t)))…),f^0(x)=0$$($f$が$s$個)、$[α]$は$α$以下の最大の整数とします。

＊解答だけで構いません。