自然数nを用いた素数2^n+5^(n+1)は存在するか。
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$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.
与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について, $p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.
$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。
答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。
$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式 $x^n - (x-p)^n = p^n$ を考える。 $p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。
何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません
$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$ $$f(f(N))=4N$$ を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。
$N$ の総和を半角数字で入力してください。
以下の2次方程式 $$ x^{2}-2ax+b=0 ― (*) $$ について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。 $a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 $b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。
(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート，全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。
${}$ 西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。
${}$ 解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。 （例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$
$m,n$を$2$以上の整数、$p$を$m$以下の素数とします。 $$m^p-1=p^n$$ を満たす組$(m,n,p)$について、$m+n+p$の総和を求めてください。
半角数字で入力してください。
$(1)$ 集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか． $(2)$ $3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．
命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例）答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
整数 $n$ について， $n^5+n^4+32$ が素数でないことを示せ．
簡単な証明をお書き下さい．
完全数たる半素数を全て求めよ。
完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$ 半素数：$2$ つの素数の積で表される数。
解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。
$1$以上$2027$以下の整数のうち0個以上に印をつける方法は$2^{2027}$通りありますが、そのうち次の条件を満たすものの個数を$N$とします。$N$の正の約数の個数を求めてください。
条件: 印がついている整数からどのように相異なる$2$つを選んでも、その和は$2000$にならない。
半角整数で答えてください。
