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人気問題
問題文
正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
問題文
$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。
解答形式
$N$ の総和を半角数字で入力してください。
問題文
正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。
解答形式
答えは複数あるので, その総和を入力してください。
問題文
正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,
$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$
の最大値を求めてください.
解答形式
求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.
問題文
$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。
解答形式
答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)
新着問題
問題文
$3$ つの区別できる立方体があります。躑躅色$,$ 熨斗目花色$,$ 鶸色 の絵の具を用意し$,$ $18$ 面のうち無作為に選んだ $6$ 面を躑躅色に$,$ 別の $6$ 面を熨斗目花色に$,$ 残りの $6$ 面を鶸色に塗ります。ただし$,$ どの塗り方も等確率で起こるものとします。
色が塗られた後の $3$ つの立方体を同時に投げたとき$,$ 出た $3$ つの面の色を記録した後$,$ $3$ つの立方体をそれぞれ $1$ 回目に出た面とは異なる面が無作為に上面となるように$,$ 同時にもう一度投げるとき$,$ $1$ 回目に出た $3$ つの面がすべて異なる色であり$,$ かつ $2$ 回目に出た $3$ つの面もすべて異なる色となる確率を求めてください。
解答形式
答えは分数になるので(既約分数)$,$ 分母と分子の和を半角数字で入力してください。
問題文
$AB=7, BC=8, CA=9$ である鋭角三角形 $ABC$ において$,$ 各頂点において中線が隣り合う一方の辺となす角と$,$ 等しい角度をもう一方の辺との間になすような直線をそれぞれ引きます。これら3本の直線の交点を $K$ とし$,$ 点 $K$ を中心として点 $A$ を通る円を $\Gamma$ とします。また$,$ 円 $\Gamma$ と直線 $BC$ の交点のうち$,$ 点 $B$ に近い方を $X$$,$ 点 $C$ に近い方を $Y$ とします。さらに$,$ 三角形 $AKX$ の外接円を $\omega_1$$,$ 三角形 $AKY$ の外接円を $\omega_2$ とし$,$ $\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ 以外の交点を $M$ とします。直線 $AM$ と直線 $BC$ の交点を $H$ とするとき$,$ 線分 $KH$ の長さは互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので$,$ $p+q$ の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$1$ から $9$ までの異なる $9$ つの数字を$,$ $A$ から $I$ までの $9$ つのアルファベットに $1$ つずつ割り当てます。以下の $2$ つのかけ算の等式が同時に成り立つような数字の割り当て方を全て求めてください。
$※$ $A$, $G$ は $1$ 桁の数$,$ $BC, HI$ は $2$ 桁の数$,$ $DEF$ は $3$ 桁の数を表します。また$,$ $A < G$ とします。
$$A \times BC = DEF$$$$G \times HI = DEF$$
解答形式
$DEF$ としてありえるものの総和を半角で数字のみ入力してください。
問題文
正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
問題文
正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。
解答形式
答えは複数あるので, その総和を入力してください。
問題文
$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。
解答形式
$N$ の総和を半角数字で入力してください。