命題

問題文

問　凸四角形$ABCD$が$AB+CD=BC+DA$を満たしている。次の4つの円の中心を$W,X,Y,Z$とする。
・線分$AB$と、線分$DA,CB$の$A,B$方向での延長線に接する円。
・線分$BC$と、線分$AB,DC$の$B,C$方向での延長線に接する円。
・線分$CD$と、線分$BC,AD$の$C,D$方向での延長線に接する円。
・線分$DA$と、線分$BA,CD$の$D,A$方向での延長線に接する円。
$WX=YZ$になるための四角形$ABCD$の必要十分条件を$A,B,C,D$以外の点を用いずに示せ。

解答形式

必要十分条件を求め、証明を記述してください。

問題文

実数 $a,b,c$ がこの順に等差数列となっている。 $3\times3$ のマス一つずつに $a,b,c$ を自由に配置したとき、縦横斜め一列に並ぶ $3$ 数の和が一致する列の組が必ず存在するか。

解答形式

必ず存在するならば $1$ 、必ずしも存在しないならば $0$ と答えてください。

<問題文>

m,nを互いに素な自然数とし、f(n)はnの正の約数の個数を表し、g(n)はnの正の約数を全て掛け合わせた積を表す。このとき、 $$f(mn)=10 $$のとき、$${\log_{mn} g(mn)}を求めよ。$$

<解答形式>

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

$$
log_{27}n=\int_0^1\quad{a}^2da
$$

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。

正三角形$ABC, DEF$について, 三点$A, F, E$がこの順に同一直線上に並んでいます. また, 線分$AD$と線分$BE$の交点が存在したのでこれを$X$とすると三点$F, C, X$はこの順に同一直線上に並びました. 直線$BC$と直線$AE$の交点を$Y$としたとき, 以下が成立しました.
$$
\angle CAE=\angle BEA,　AD=AY,　DX=1
$$
このとき, 線分$AD$の長さの値の最小多項式を$f$とします. $f(5)$の値を求めてください.

最小多項式とは

$m$を根にもつ有理数係数多項式のうち, 次数が最小であり, かつ最高次の係数が$1$であるものを(このようなものは一意に存在します), $m$の最小多項式とよびます.

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9　　XM=2　　\angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値になるので,半角で解答してください

問題文

自然数nに対しn自身を除く最大の約数をf(n)とします。f(n)+f(n+1)+f(n+2)=nを満たす最大のnを求てください

解答形式

例）数値を入力して下さい

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

実数x,yが$$2x+3y=π$$を満たす時、$$sin2x+cos3y $$の最大値と最小値を求めよ。

解答形式

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。