指数・対数と積分

問題文

三角形ABCについて、A,B,C,から対辺におろした垂線の足をそれぞれD,E,F,とし、垂心をHとする。AB=5、CH=4であるとき、AD×DHのとり得る最大値を求めてください。

解答形式

整数になるので半角で入力してください。

$$
log_{a+1}{\int_0^2\quad}{a}^{2}{da}={\sqrt{\sqrt{\sqrt16}}}
$$
$$
(a<0)
$$

問題文

a^3+b^3=(ab)^2を満たす自然数a,bの組を全て求めよ

解答形式

例）
記述式　簡単でいいです

問題文

$$AB=7　　BC=12　　CA=11$$
をみたす三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ とし, $\angle{BAC}$ の二等分線と $\Omega$ の交点を $M(≠A)$ とします. また $A$ における $\Omega$ の接線と直線 $BC$ の交点を $T$ とし, 直線 $TM$ と $\Omega$ の交点を $P(≠M)$ とするとき, 線分 $AP$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で解答してください

$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$

解答形式

√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例　15√3のとき
15
3

$n$ を自然数として $\displaystyle\frac1n$ と表される数全体の集合を $A$ とする．また，$A$ の要素のうち，$7$ 進法で小数展開したとき，小数点以下が基本周期 $3$ の数字の列で表される循環小数となるもの全体の集合を $B$ とする．
このとき，$B$ の要素の総和を求めよ．答えは互いに素な自然数 $a, b$ により $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

$$
-|-log_\sqrt{a}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}^{32}}}}}}|
$$

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right)$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+\tan x}}\quad$$

問題文

実数 $a,b,c$ がこの順に等差数列となっている。 $3\times3$ のマス一つずつに $a,b,c$ を自由に配置したとき、縦横斜め一列に並ぶ $3$ 数の和が一致する列の組が必ず存在するか。

解答形式

必ず存在するならば $1$ 、必ずしも存在しないならば $0$ と答えてください。

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-\sinθ\\y=1-\cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。