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三角形ABCについて、A,B,C,から対辺におろした垂線の足をそれぞれD,E,F,とし、垂心をHとする。AB=5、CH=4であるとき、AD×DHのとり得る最大値を求めてください。
整数になるので半角で入力してください。
$$AB=7 BC=12 CA=11$$ をみたす三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ とし, $\angle{BAC}$ の二等分線と $\Omega$ の交点を $M(≠A)$ とします. また $A$ における $\Omega$ の接線と直線 $BC$ の交点を $T$ とし, 直線 $TM$ と $\Omega$ の交点を $P(≠M)$ とするとき, 線分 $AP$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
半角で解答してください
$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。 $x^2 + xy + y^2 = 25$ $y^2 + yz + z^2 = 36$ $z^2 + zx + x^2 = 49$
√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。 ·解答例 15√3のとき 15 3
$$ log_{4}(\frac{1}{16})=r $$
$$ log_{27}n=\int_0^1\quad{a}^2da $$
方程式 $p^2+q^2+r^2=2027$ を満たす素数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ。 ただし、$p \le q \le r$ とする。
組の個数ごとに改行して答えてください。なお、組が複数ある場合はpが小さい順に並べてください。 解答例(p,q,r)=(3,5,7),(2,7,11)のとき 2,7,11 3,5,7
$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。
答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。
鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。
互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。
$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。 ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。
求めた解を$x$とすると、$x^2$は 非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）
三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました． $$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$ このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ とし，外接円を $Ω$ とする．直線 $CH$ と $AB$ の交点を $D$ とし，直線 $AH$ と $Ω$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $BH$ と $Ω$ の交点のうち $B$ でない方を $Q$ とする．直線 $CH$ と $PQ$ の交点を $R$ とすると，以下が成立しました． $$DH=3,\quad HR=4,\quad AD=5$$ このとき線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
