rakki杯P2

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第4問を解答しなさい。

解答形式

求める解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第10問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14　　AM=9　　\tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

正整数 $k$ であって，

$$2^k=a^b$$

を満たす正整数組 $(a,b)$ がちょうど $6$ 個存在するようなものを小さい順に $3$ 個求め，それらの総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

以下の虫食い算を解きなさい．

ここで$□,A,B,C,D$には$0$から$9$までの整数が$1$つずつ入り，それぞれの$1$桁目の数字は$0$ではないとします．

ただし，異なる$□$に同じ数字が入っても構わず，$A,B,C,D$が相異なる値を取るとも限らないことに注意して下さい．

解答形式

$1000A+100B+10C+D$の正の約数の総和を解答して下さい．

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

$360$ の正の約数 $24$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{24}$ とします．$24$ 以下の正整数組 $(i,j,k)$ であって，$360=d_id_jd_k$ を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

マナブ君は迷路に挑戦することにしました．

迷路にはスタート・ゴールを含む $5$ 箇所のチェックポイントがあり，それぞれに設置されたボタンを $1$ 回押すことで移動できます．

スタートからは必ず次のチェックポイントに移動でき，スタート・ゴール以外の $3$ 箇所については，次のチェックポイントに $\dfrac{1}{5}$ の確率で移動します(それ以外の場合，その場に留まります)．

ゴールに到着すると迷路クリアとなる時，クリアするまでにマナブ君がボタンを押す回数の期待値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

集合 $\{ 1,2,3,\cdots,10 \}$ を $S$ とおきます。 $S$ の各要素に対して定義され、 $S$ 上に値をとる関数 $f$ であって、任意の $S$ の要素 $x$ に対して $f(f(f(x))) = x$ が成り立つ $f$ の総数を解答してください。

解答形式

算用数字で解答してください