MmGC (A)

問題文

$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1　　FD=3　　DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9　　HG=2　　\angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228,　AC-AB=10　　$$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$2$ 行 $15$ 列のマス目があり，初めモンスターは $1$ 行 $8$ 列のマスにいます．モンスターが $2$ 回以上同じマスを通らないようにして隣り合う（線分を共有する）マスに移動することを繰り返すとき，すべてのマスを通るような移動方法は何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．

• $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
• $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
• $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$

このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす，$ \angle BAC$ が鈍角の三角形 $ABC$ があり，$A$ から線分 $BC$ におろした垂線の足を $D$ とする．$4$ 点 $BEDC$ がこの順に同一直線上に並ぶように点 $E$ をとると，三角形 $ACE$ の外接円は直線 $AB$ に点 $A$ で接し，点 $E$ から線分 $AB$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2,\quad AH=4,\quad AC=9$$
が成立しました．このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$\cos \angle BAC=\dfrac{3}{7}$ を満たす三角形 $ABC$ があり，$B$ から直線 $CA$ におろした垂線の足を $D$，$C$ から直線 $AB$ におろした垂線の足を $E$ とします．三角形 $ADE$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$ とすると，$I_A$ は直線 $BC$ 上に存在しました．$AC=1$ のとき，辺 $AB$ の長さとして考えられる値の総和を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．