rakki杯P10

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$

解答形式

算用数字で解答してください．

問題文

$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。
ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

$1,2,4,\dots,512$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_{10}$ であって，

$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}+\frac{a_9}{a_{10}}=1$$

を満たすものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第4問を解答しなさい。

解答形式

求める解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

問題文

げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。

解答形式

答えを解答してください。

問題文

$3^{20}+2^{25}=3520338833$ は素因数を $3$ つもつので，それらの総和を解答してください．

解答形式

半角で入力してください。

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

直方体$ABCD-EFGH$があります。$AB=14,AD=7 \sqrt{10},AE=2 \sqrt{7}$
のとき、$ \angle BDG$を度数法で求めよ。

問題文

座標平面上で，$0\leq i\leq5,0\leq j\leq5$ なる整数 $i,j$ を用いて $(i,j)$ と表される点のうち相異なる $3$ つを選んでそれらを良い点とします．次を満たすように $3$ つの良い点を選ぶ方法は何通りありますか．

• 点 $(0,0)$ から点 $(5,5)$ まで $x$ 座標または $y$ 座標が整数である状態を保って最短で移動する経路であって，良い点をすべて通るようなものが存在する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．