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$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$

解答形式

√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例　15√3のとき
15
3

問題文

$$AB=7　　BC=12　　CA=11$$
をみたす三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ とし, $\angle{BAC}$ の二等分線と $\Omega$ の交点を $M(≠A)$ とします. また $A$ における $\Omega$ の接線と直線 $BC$ の交点を $T$ とし, 直線 $TM$ と $\Omega$ の交点を $P(≠M)$ とするとき, 線分 $AP$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で解答してください

$$
log_{4}(\frac{1}{16})=r
$$

$$
log_{27}n=\int_0^1\quad{a}^2da
$$

問題文

角xの大きさを求めなさい

上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。
点は交点を表している。
追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。

解答形式

角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。
小数が出てきた場合、小数点は省略して答えてください。
100.5°→1005

問題

方程式 $p^2+q^2+r^2=2027$ を満たす素数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ。
ただし、$p \le q \le r$ とする。

解答形式

組の個数ごとに改行して答えてください。なお、組が複数ある場合はpが小さい順に並べてください。
解答例(p,q,r)=(3,5,7),(2,7,11)のとき
2,7,11
3,5,7

問題文

$x \geqq \dfrac{1}{2} - \left| y - \lfloor y \rfloor - \dfrac{1}{2} \right|$ で表される領域と似たデザインの国旗を全て答えてください。

解答形式

答えが2つ以上ある場合は各行に1つの答えをカタカナで五十音順に入力してください。

五角形$ABCDE$が以下を満たしています． $$\angle B=\angle E=60°,\angle A=\angle C=90°$$ $$AB+AE = CB+CD=11,AC=7$$ この時，この五角形の面積は互いに素な正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}-d}{a}$ と表せるので， $a+b+c+d$ の値を回答してください．ただし， $a,b,d$ は最大公約数が $1$ で，$c$ は平方因子を持ちません．また $∠X$ は，頂点 $X$ における内角の大きさを表します．

問題文

ゲームを始める前に、プレイヤーは以下の5枚のカードから1枚を選ぶ.
Aのカードには「1、4、7、9」
Bのカードには「1、3、8、9」
Cのカードには「2、3、6、9」
Dのカードには「2、4、5、9」
Eのカードには「5、6、7、8、9」
という数字が書かれている.
カードを1枚選んだのち, スロットを1度回す. 出た数字が選んだカードに書かれていれば勝ち, 書かれていなければ負けである.
このゲームについて調べたところ, AからEまでのどのカードを選んでも勝つ確率は$\dfrac12$であった.
このとき, スロットを1度回して「9」が出る確率を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な正の整数$ a, b $を用い$\dfrac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。

問題文

$\angle B$が鋭角である四角形$ABCD$が以下を満たした. このとき$\angle B$の大きさを求めよ.
$\angle A =70^\circ \quad\angle D=100^\circ\quad BC=CD=DA $

解答形式

正の整数で解答して下さい。(単位不要です)

問題文

ある正の整数の組$(a,b,c)$が以下の等式を満たした. このとき, この$3$数の組としてありうるものはどれだけ存在するか. 以下の選択肢から選び回答せよ. あ もしくは い を選ぶ際はその組の数も求めよ.
$a^2+b^2=2026+c^2$
　あ 10000組未満　　い 10000組以上だが有限個しか存在しない　　う無数に存在する

解答形式

あ,または い を解答される場合は組の数を, う を解答される場合は う を入力ください.