hya_math

$99989796…090807060504030201$を$97$で割った余りを求めてください.

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

$$\left\lfloor \dfrac n2 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n3 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n6\right\rfloor $$が素数になるような自然数 $n$ のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．

点 $O$ を中心とする単位円に内接する正六角形 $ABCDEF$ について $,$ 線分 $AF$ の中点を $M$ とします. 直線 $CM$ と直線 $AD$ の交点を $P,$ 直線 $CM$ と直線 $BE$ の交点を $Q$ とします.三角形 $OPQ$ の面積の値は$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$と表せるので$,$ $a$ の値を回答してください$.$

東君はスーパーに鉛筆を買いに来ました.鉛筆の税抜価格は $109$ 円です.しかし東君が財布の中身を見てみるとなんと $10$ 円玉しか入っていませんでした.東君はこう考えました.

「鉛筆は少なくとも一つ買いたいけど、お釣りだけは絶対にもらいたくない」

この時東君は最低で何個の鉛筆を買わなければいけませんか.ただし会計の時に支払う合計金額は税抜価格の総和の $1.1$ 倍の整数部分で定義され$,$東君は十分な枚数の $10$ 円玉を持っているものとします.

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

以下の方程式の $0 \le x < 2\pi$ における解の総和は，正の整数 $a,b$ を用いて $a\pi -b$と表せるので， $a+b$ の値を回答してください．$$\{\cos{x}+\cos{(6x+1)}+\cos{(8x+3)}\}^2+\{\sin{x}+\sin{(6x+1)}+\sin{(8x+3)}\}^2=1$$

東君の家に $9$ 人の友達が遊びにきたので，東君のお母さんは $10$ 人に $1$ 枚ずつクッキーをくれました．今， $10$ 人は円形のテーブル席に等間隔に座っており，次の操作に従ってクッキーを渡します．

操作 $\alpha:$ ある子がその対角線上に座っている子にクッキーを渡す.

操作 $\beta:$ ある子が時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡すと同時に，別のある子が反時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡す．

適当な回数 $\alpha, \beta$ を繰り返すことで実現可能なクッキーの配分は何通りありますか．
ただし， $10$ 人は区別し，クッキーは区別しないものとします．

$$\left\lfloor \dfrac n2 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n3 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n6\right\rfloor $$が素数になるような自然数 $n$ のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．

次の和の値を求めよ．$$\displaystyle\sum_{m=1}^{100}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}{\left\lfloor \dfrac{m+100}{m+n-1} \right\rfloor}$$

五角形$ABCDE$が以下を満たしています． $$\angle B=\angle E=60°,\angle A=\angle C=90°$$ $$AB+AE = CB+CD=11,AC=7$$ この時，この五角形の面積は互いに素な正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}-d}{a}$ と表せるので， $a+b+c+d$ の値を回答してください．ただし， $a,b,d$ は最大公約数が $1$ で，$c$ は平方因子を持ちません．また $∠X$ は，頂点 $X$ における内角の大きさを表します．