TMC002(C)

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.

点 $O$ を中心とする単位円に内接する正六角形 $ABCDEF$ について $,$ 線分 $AF$ の中点を $M$ とします. 直線 $CM$ と直線 $AD$ の交点を $P,$ 直線 $CM$ と直線 $BE$ の交点を $Q$ とします.三角形 $OPQ$ の面積の値は$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$と表せるので$,$ $a$ の値を回答してください$.$

$108$ の正の約数全体の集合を $S$ とします．また$,$整数からなる集合 $X$ の要素のうち正の整数 $p$ で割り切れる最大の回数が $n$ であるようなものの個数を $f_{p,n}(X)$ とします. $S$ の部分集合 $U$ であって次の$2$つの条件をともに満たすようなものはいくつありますか$?$

条件$1$ $:$ $f_{2,0}(U)$$,$$f_{2,1}(U)$$,$$f_{2,2}(U)$ は相異なる$.$
条件$2$ $:$ $f_{3,0}(U)$$,$$f_{3,1}(U)$$,$$f_{3,2}(U)$$,$$f_{3,3}(U)$ は相異なる$.$

ただし $p \nmid x$であるとき $x$ が $p$ で割り切れる最大の回数は $0$ とします$.$

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

問題文

円 $\Gamma$ があり，これの接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

どの位の数字も $0$ でない $11$ 桁の正整数であって，どの連続する $4$ 桁の正整数も $11$ の倍数であるようなものは何個ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$2$ 行 $15$ 列のマス目があり，初めモンスターは $1$ 行 $8$ 列のマスにいます．モンスターが $2$ 回以上同じマスを通らないようにして隣り合う（線分を共有する）マスに移動することを繰り返すとき，すべてのマスを通るような移動方法は何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

実数 $x$ であって，$x$ の整数部分と小数部分の積が $x$ となるものを大きい順に $x_1,x_2,\dots$ とします．このとき，$x_2x_3\dots x_9$ の値を求めてください．なお，$x$ の整数部分とは $x$ 以下の最大の整数，小数部分とは $x$ から $x$ の整数部分を引いた値のことを言います．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．