幾何

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，外心を $O$ とします．$O$ を通る直線 $AI_A$ に平行な直線と辺 $AC$ の交点を $P$ とおくと，円 $APO$ は直線 $OI_A$に接しました．以下の条件を満たしているとき，辺 $AB$ の長さを求めてください．
$$\cos \angle ABC=\dfrac{1}{7},　BC=6$$

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，垂心を $H$，外心を $O$ とすると $I_AH=I_AO$ が成り立ちました．$\angle ABC=45^\circ, AB=1$ であるとき，辺 $AC$ の長さとして考えられる値の総積を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

$\cos \angle BAC=\dfrac{3}{7}$ を満たす三角形 $ABC$ があり，$B$ から直線 $CA$ におろした垂線の足を $D$，$C$ から直線 $AB$ におろした垂線の足を $E$ とします．三角形 $ADE$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$ とすると，$I_A$ は直線 $BC$ 上に存在しました．$AC=1$ のとき，辺 $AB$ の長さとして考えられる値の総和を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。

解答形式

求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。

問題文

$1×1$ のタイルが $18644671$ 枚あり，それを上から $1,2,3,……,6106$ 枚ずつ階段状に並べます．

Hiziri-Hikaru君はこれらのタイルを， $6106$ 個のブロックに分割しようと考えました．

ブロックの定義は以下の通り．

ブロックとは
・長方形を成すような $n$ 個のタイルのこと(その長方形の縦横を $m,l$ とする時， $m×l=n$ を満たす)

・ブロック同士が重なり合うことはない(あるタイルが$2$つ以上のブロックに属すことはない)

タイルの分割方法は $K$ 通りと書けるので， $K$ を素数 $6101$ で割った余りを求めて下さい．

ただし，いずれのブロックにも含まれないようなタイルが存在しないように分割するとし，分割する順番は考慮しないとします．

解答形式

半角数字で入力して下さい．