最大値

問題文

nを自然数とし、関数f(x)とg(x)を$$f(x)=x^{n},g(x)=x^{n+1}$$
とする。y=f(x)とy=g(x)に囲まれた部分をS_nとしたとき、
$$\sum_{n=1}^{∞} S_n$$の値を求めよ。

解答形式

・分数の場合は $$分子/分母$$と答えて。
・√の内部が一桁の数字なら$$√数字$$、二桁以上の数値または数式から$$√(数値や数式)$$と答えて。

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

$n$ を正の整数，$\phi(n)$ を $n$ 以下で $n$ と互いに素な正の整数の個数を表すものとする．
$\phi(n) \le N$ をみたす $n$ の最大値が $30$ の倍数でないような $N$ の中で，最大のものを求めよ．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ.
(ただしpは素数とする)

(半角の自然数が答え)

問題文

$1$以上$2027$以下の整数のうち0個以上に印をつける方法は$2^{2027}$通りありますが、そのうち次の条件を満たすものの個数を$N$とします。$N$の正の約数の個数を求めてください。

条件: 印がついている整数からどのように相異なる$2$つを選んでも、その和は$2000$にならない。

解答形式

半角整数で答えてください。

$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

解答形式

Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34

問題文

四角形ABCDは一辺が4の正方形である。ABの中点をOとする。弧BDは頂点Cを中心とし、CDを半径とする円の一部である。半円ABはOを中心とし、BCを直径とする円の一部である。
頂点Bとは異なる弧BDと半円ABの交点をPとする。また、OPの延長線とADの交点をEとする。
次の(ア)〜(ウ)に当てはまる数を答えなさい。

(1)角OPC=$(ア)$ °である

(2)DE＝$\sqrt{\frac{(イ)}{(ウ)}}$である

四角形ABCDと同じ図である、四角形A‘B’C‘D’をDCとB‘C’が共有するように置いた。また、四角形A‘B’C‘D’においてOはO’となり、PはQになる。
次の(エ)〜(キ)に当てはまる数を答えなさい。

(3)角QO‘R＝90°となるような点Rを弧QB‘上にとった。この時角QRP＝$(エ)°$である

(4)QP＝${(オ)}\sqrt{(カ)}$である

(5)図形AOPQO‘の面積は$\sqrt{(キ)}$である

解答形式

行ごとにジャッジするため、
1行目に(1)に当てはまる数の和を答える、2行目に(2)に当てはまる数の和を答える､､､などのようにして答えなさい。(5)まであるので全部で5行しか使わない。
(例)
(ア)＝5、(イ)=2、(ウ)=3、(エ)＝4の時、
↓
5
5
4
と答えれば良い。

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right)$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

問題

正整数$a,b,c$において,
$$
(a^{2}+1)(a+b)=abc-1
$$をみたす組$(a,b,c)$の総和を求めよ.

答えの値違いました、すいません。