力技な部分もあるかと思います

問題文

あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り$,
$ 以下のゲームを考える。

・その日に術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合$,$ $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し$,$ 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。

$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また$,$ 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。

解答形式

求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$$,$ 平方因子をもたない $b$$,$ 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので$,$ $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で$,$ そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$

【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。

$$S = n \times 10^k + m$$

（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）

$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。

※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例　(n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88

問題文

与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030

回答の仕方

因数分解された式のみ回答

問題文

2,3,1/6が書かれた3枚のカードがある。カードを取り出し、元に戻す操作を3n回行う。また、それぞれのカードは等確率で取り出すものとする。3n回の操作で、引いたカードに書かれた数の総積が整数となる確率の極限値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力して下さい
答えのみ

問題文

四角形$ABCD$があります.ここで三角形$ABC$は直角二等辺三角形であり,また$\angle ADC=90^\circ$です.
直線$AC$と直線$BD$の交点を$P$とするとき,$PC=4$,$AC=12$でした.
このとき,線分$CD$の長さを求めてください.

解答形式

線分$CD$の長さは互いに素な正の整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{\sqrt{b}}$と表せるので,
$a+b$の値を半角数字で解答してください.

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2})$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題文

$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。

(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+tanx}}\quad$$

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

問題文

正の整数$x$に対して,$S(x)$を$x$の桁和とします.例えば$S(2026)=2+0+2+6=10$です.
$x=S(x)+S(S(x))$となるような正の整数$x$を全て求め,その総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.