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正 $6$ 角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の中心を $\mathrm O$ とし，正 $6$ 角形の $6$ 個の辺と，$\mathrm O$ と各頂点を結ぶ $6$ 個の線分の，計 $12$ 個の線分を考える．このとき，これらの線分を辺とする正三角形が $6$ 個できている．これらの線分のうちの幾つかを取り除いて，正三角形が $1$ つもできない状態を作りたい．そのような取り除き方は何通りか求めよ．

凸 $5$ 角形の頂点に町が $1$ つずつ，合計 $5$ つある．これらの町のうち $2$ つを結ぶような真っ直ぐな路線を何本か自由に引く方法を考える．なお路線は交差してもよい．
このとき，路線によって全ての町が往来可能となるような方法の総数を求めよ．

正 $8$ 面体の各面を，辺で隣接する面が同じ色とならないように赤・青・黄の $3$ 色のうちのいずれかで自由に塗る．

$(1)$ 正 $8$ 面体の各面を区別するとき，塗り方の総数を求めよ．
$(2)$ 正 $8$ 面体の各面を区別せず，回転によって一致する塗り方を同一視するとき，塗り方の総数を求めよ．

$(1)$ の答えを $1$ 行目に，$(2)$ の答えを $2$ 行目に記入せよ．

問題文

正$n$角形の対角線の本数が素数になるような自然数$n$を全て求めてください。

解答形式

$n$としてあり得る数を半角で小さい順に1列に1つずつ縦に解答してください。
例:2,3と答えたい時
2
3
と解答してください。

${}$　西暦2024年問題第7弾、最終回です。第5弾に引き続き8の倍数に注目したやや風変わりな場合の数の問題を用意しました。場合分け地獄に陥らないように、うまいこと処理してください。

解答形式

${}$　解答は指定の場合の数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）107通り → $\color{blue}{107}$

${}$　西暦2024年問題第5弾です。今回は8の倍数に注目した場合の数の問題を用意しました。数え漏らしに気をつけてサクッと解いてやってください。

解答形式

${}$　解答は指定の場合の数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）105通り → $\color{blue}{105}$

問題文

初めに$N$枚のコインを持っています。下記のルールを守ってゲームを$m$回するとき、最後に持っているコインの枚数としてありえる枚数は$K$通りあります。このとき場合の数$K$を最大化するための$m$を答えてください。

ルール

• コインゲーム筐体は$n$台あり一列に並んでいます。
• 左から$i$番目の筐体でゲームをするにはコインを$i$枚消費します。
• 1つの筐体につき一度しかゲームをできません。
• ゲームに成功するとその筐体で消費した枚数の倍の枚数のコインが手に入ります。
• ゲームに失敗するとコインは一枚も手に入りません。
• 筐体は好きな順番でゲームをすることができます。

制約

• $1 \le m \le n$
• $2 \le n $
• $ n^2 < N $

解答形式

半角英数と下記の半角記号で答えてください。

半角記号

()+-/^!

例

x^(n-1)/(x+y)!

問題文

3本の杭と中央に穴のあいた大きさの異なる$n$枚の円盤があります。いま、杭の1つにすべての円盤が小さいものが上にくるように積み重なっています（初期状態）。この状態から下記のルールを守りながら操作を行うとき、初期状態から到達し得る状態は何通りありますか。ただし初期状態も1通りと数え、また3本の杭は区別することとします。

例えば「左端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」を1つ、そこから操作を一回だけ行い、「左端に大きさ2から$n$の円盤、真ん中に大きさ1の円盤が積み重なっている状態」を1つ、のように状態の数をカウントします。また、「真ん中の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」と、「右端の杭に大きさ1から$n$の全ての円盤が積み重なっている状態」のように杭が異なる場合もそれぞれ別の状態としてカウントします。

ルール

• 円盤は一回に一枚ずつしか移動できない。
• 小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできない。

解答形式

半角英数字と下記の半角記号で答えてください。式中にスペースを含めないでください。

使える記号

• 「+」加算
• 「-」減算
• 「*」乗算
• 「/」除算（分数）
• 「( )」かっこ
• 「^」冪乗
• 「!」階乗