シグマコンテスト1G

$$\sum_{k=1}^{66}k\times \gcd(66,k)$$
の値を求めて下さい．$\gcd(a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を表すものとします．

$$ \sum_{k=1}^{66}k^2(k^2-1)(k^2-4)$$
の値を求めて下さい．

問題文

$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，

・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)

解答形式

半角数字で解答してください．

$f_0(x)=|x|,f_{n}(x)=|f_{n-1}(x)-n|$ とします．
$$\sum_{k=1}^{66}f_6(k)$$
の値を求めて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=i}^{66}\frac{1}{j}$$の値を求めて下さい．

$$\sum_{k=1}^{66}\frac{4k}{k^4+4}$$ の値を求めて下さい．値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を答えて下さい．

$$\sum_{i=1}^{66}\sum_{j=1}^{\lfloor\sqrt{i}\rfloor}\sum_{k=1}^{\lfloor\sqrt{j}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\sqrt{k}\rfloor}1$$
の値を求めて下さい．

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

AさんとBさんが以下のようなゲームをする.

・$n$を正の整数とし, $1\leq p,q\leq 2n$を満たす整数 $p, q$ に対し座標平面上の点 $(p,q)$ であらわされるような点全体を$S$, $1\leq r,s\leq 2n-1$を満たす整数 $r,s$ に対し座標平面上の点$(r+\tfrac12,s+\tfrac12)$であらわされるような点全体を$T$とする.
・ Aさんが, $S$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これを, どの点とも結ばれていないような$S$上の点が存在しなくなるまで繰り返す. ただし, どの2線分も, 端点を含め共有点を持ってはいけない.
・ Bさんが, Aさんがひいたどの線分とも端点を含め共有点を持たないように, $T$に属し距離が$\sqrt2$以下の異なる2点を選び, それをまっすぐな線で結ぶ. これをBさんが好きなだけ繰り返す. このとき, Bさんが引いた異なる2線分が共有点をもってもかまわない.
・Bさんが引いた線分によって多角形が一つでも形成されていればBさんの, そうでない場合はAさんの勝利とする.

互いが最善を尽くすとする.ここでAさんは長さが$\sqrt2$の線分を引く回数をなるべく減らしたうえで勝利したい. $n=2026$のとき, Aさんは最低何本の長さ$\sqrt2$の線分を引けば勝利できるか.

解答形式

整数でお答えください.

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．