OMCE011B？

問題文

$i=1, 2, \ldots, 999$ に対して，数 $i$ が書かれたカードがそれぞれ $1001$ 枚あり，同じ数が書かれたカードは区別しないものとします．これらを左右 $1$ 列に並べる方法であって，次の条件を満たすカード $X$ がちょうど $1$ 枚あるようなものが $N$ 通りあるものとします．

• カード $X$ は一番右のカードではない

• カード $X$ に書かれた数は，カード $X$ の右隣のカードに書かれた数より大きい

$N$ を $997$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり，任意の連続する $3$ 項において以下を満たします．

• $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる．

例えば，$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします．このような数列は $N$ 個あります．$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

自然数列$\ a_n$を以下のようにして定める.
$$a_{n+1}=\lceil \sqrt{n} \rceil a_n+\lfloor \sqrt{n} \rfloor$$
ただし,$\ \lceil x \rceil \in \mathbb{N},\ x \le \lceil x \rceil <x+1\ ,\ \lfloor x \rfloor \in \mathbb{N},\ x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$
です.
このとき,$\ a_{2026}\ $が$\ 5$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

解答形式

整数で解答してください.

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題文

$m,n$を整数とします。
$$(m+n)!+2025^{{n}^{m}}=2026^{mn+1}$$
を満たす組$(m,n)$について、$mn$の総積を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$n$ 以下の正整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を表す $φ(n)$ を $a$ 回合成した関数を $φ^a(n)$ と書くとき、$φ^a(n)=1$ を満たす最小の $a$ が $8$ であるような $n$ の最小値と最大値の積を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

問題文

$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.

問題文

円Oが存在して、円O上に点A,B,C,Dをこの順に配置する。角ABD、角DCAそれぞれの二等分線の交点をE、角BAC、角CDBそれぞれの二等分線の交点をF、BDとACの交点をG、△ABG、△DCGそれぞれの内心をI,I’とする。
$$AB=\frac{19}{2},EF=11,△ABI=\frac{19}{2} $$
の時、四角形EIFI’の面積を求めよ。

解答形式

求める値は互いに素な正整数a,bでa/bと表せるので、a+bを解答してください。

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。

解答形式

解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。
a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。
また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。
(例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、
2 3 11 5 6 7 8