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問題文
$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha > \beta$）とし、数列 ${a_n}$ を$$a_n = \alpha^n + \beta^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$で定義する。以下の問いに答えよ。(1) $a_1, a_2, a_3$ の値を求めよ。また、$n \ge 1$ に対して $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。(2) すべての自然数 $n$ に対して、次の等式（カッシーニの恒等式の拡張）が成り立つことを証明せよ。$$a_{n+1}^2 - a_{n+2} a_n = -12$$(3) 次の和 $S_n$ を、$a_1, a_2, a_{n+1}, a_{n+2}$ を用いて対数を使わずに（ひとつの対数の中にまとめた真数の形で）表せ。$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2 \left( 1 + \frac{12}{a_k a_{k+2} - 12} \right)$$(4) 数列 ${a_n}$ の一の位の数字を $c_n$ とする。数列 ${c_n}$ が周期性を持つことを示し、和 $T = \sum_{k=1}^{2027} c_k$ を求めよ。(5) $\alpha > \beta$ であることを用いて、任意の自然数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$a_n - 1 < \alpha^n < a_n$$さらに、$(2+\sqrt{3})^{2027}$ の整数部分の一の位の数字を求めよ。
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題
+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。
解答形式
非負整数のみで回答してください
$n$を0以上の整数とし、
$$
I_n = \dfrac{1}{(2n)!} \int^1_0 (x-1)^{2n} \left( \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \right)dx
$$
とする。これについて,以下の設問に答えよ。
$(1) \quad I_0$ を求めよ。
$(2) \quad I_nとI_{n-1}$ の関係式を作れ。
$(3) \quad \lim_{n \to \infty} I_n $を求めよ。
$(4) \quad \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n)!}$ を求めよ。