RMC short p1

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

実数全体に対して定義され実数値をとる関数 $f$ が, 任意の実数 $x,y$ について
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
を満たしており $,$ さらに $f(7)=13$ が成り立っています. $f(28)$ を求めてください.\

解答形式

半角で解答してください

問題文

複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$
$$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$
を満たします．このような組はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

問題文

$1$以上$2027$以下の整数のうち0個以上に印をつける方法は$2^{2027}$通りありますが、そのうち次の条件を満たすものの個数を$N$とします。$N$の正の約数の個数を求めてください。

条件: 印がついている整数からどのように相異なる$2$つを選んでも、その和は$2000$にならない。

解答形式

半角整数で答えてください。

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください

問題文

$8\times8$のマス目からなるオセロ盤に，黒石が 4 つ置かれています．tomorunn君は，石が置かれていないマスに白石を 1 つ置く操作を，すべてのマスに石が置かれるまで繰り返します．
「ある白石を置いたとき，その石と既に置かれている白石で一直線（縦・横・斜めの計 8 方向）に挟まれた黒石をすべて白石に変える」というルールの下で，白石を置く順序を適切に選ぶことで，最終的に盤面に残る黒石の個数を 3 つ以下にできるような，黒石の初期配置は何通りありますか？
ただし，最終的に盤面に残る黒石の個数は操作の順番に依らないことが保証されます．

解答形式

例）半角数字で回答してください。

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.

問題文

ジョーカーを含む54まいのトランプを考える。
上からN枚目がジョーカーa、36枚目がジョーカーbの時を考え、それ以外にジョーカーは入っていなく、カードはランダムであるとする。
この時次のような操作を考える。
操作
1　最初に1枚カードを一番下に送る。これを操作1とする。
2　操作1で送ったカードの枚数と同じだけカードを一番下に送る。これを操作2とする
3　操作1と2で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作3とする。
4　操作2と3で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作4とする。
x　操作(x-2)と(x-1)で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。　これを操作xとする。(x >2の時)

このとき次の問いに答えなさい。
(1)最初に一番上のカードがハートのキングだったとき、ハートのキングが再び一番上に来るのは操作Aが終わったときでした。Aに当てはまる数字を答えなさい。
(2)ジョーカーbが初めて一番下にきたのは操作Bの途中でした。Bに当てはまる数を答えなさい。
(3)ジョーカーbが一番上のカードに来たのは操作Cが終わったときでした。Cに当てはまる数を答えなさい。
(4)ジョーカーaが一番上のカードに来たのは操作15が終わったときでした。Nに当てはまる数を答えなさい。

解答形式

(1)A=まるまる（半角数字）のようにスペースを開けずに文字=数字の形にして回答してください。
()ごとに改行をしてください。
例　
(1)A=3
(2)B=8 のようにお願いします
()は半角でお願いします。

問題文

正の整数$x$に対して,$S(x)$を$x$の桁和とします.例えば$S(2026)=2+0+2+6=10$です.
$x=S(x)+S(S(x))$となるような正の整数$x$を全て求め,その総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

nを自然数とし、関数f(x)とg(x)を$$f(x)=x^{n},g(x)=x^{n+1}$$
とする。y=f(x)とy=g(x)に囲まれた部分をS_nとしたとき、
$$\sum_{n=1}^{∞} S_n$$の値を求めよ。

解答形式

分数の場合は(分子)/(分母)で答えて。

問題文

$4999$ 以下の素数の組 $(p,q,r,s)$ が以下の式を満たしているとき，積 $pqrs$ が取りうる値の総和を解答してください．
$$ pqr+pqs-p^2 = q^2+2 $$

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

三角形$ABC$において，$AB,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とし，重心を$G$とします.三角形$AGM$の外接円と三角形$CGN$の外接円が再び交わる点を$P$とすると以下が成立しました.$$GP//BC　AB＝5　AC＝4$$このとき線分$GP$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

例）ひらがなで入力してください。