ただの因数分解

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

次の関数方程式を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ。
$$f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4xf(y)$$
さらに、実定数 $c$ に対して定義される方程式 $f(f(x) + y) = cx + f(f(y) - x)$ が、定数関数でない多項式解 $f(x)$ を持つための $c$ の条件を特定せよ。

解答形式

例）文章で解き方含め入力してください。

<問題文>

m,nを互いに素な自然数とし、f(n)はnの約数の個数を表し、g(n)はnの約数を全て掛け合わせた積を表す。このとき、 $$f(mn)=10 $$のとき、$${\log_{mn} g(mn)}を求めよ。$$

<解答形式>

・答えが分数になる場合は$$分子/分母$$と表記してください。
・回答する際は$$最大値,最初値$$と答えてください。
・マイナスは全角－で表記してください。
・$$\sqrt{x^2+x}$$などと√の内部の式が大きくなったり、二文字以上の数字の場合は $$√(数式や数値)$$と答えてください。
・$$\sqrt3$$など√内が一文字の数字の場合は$$√数字$$と回答してください。

問題文

$8\times8$のマス目からなるオセロ盤に，黒石が 4 つ置かれています．tomorunn君は，石が置かれていないマスに白石を 1 つ置く操作を，すべてのマスに石が置かれるまで繰り返します．
「ある白石を置いたとき，その石と既に置かれている白石で一直線（縦・横・斜めの計 8 方向）に挟まれた黒石をすべて白石に変える」というルールの下で，白石を置く順序を適切に選ぶことで，最終的に盤面に残る黒石の個数を 3 つ以下にできるような，黒石の初期配置は何通りありますか？
ただし，最終的に盤面に残る黒石の個数は操作の順番に依らないことが保証されます．

解答形式

例）半角数字で回答してください。

問題文

$6$ 桁の正整数 $N$ について$,$ 上 $2$ 桁を取り出し$,$ その順で末尾に持っていくことで得られる $6$ 桁の正整数を $f(N)$ とするとき$,$
$$f(f(N))=4N$$
を満たす正整数 $N$ をすべて求めてください。

解答形式

$N$ の総和を半角数字で入力してください。

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

問題文

正の整数$x$に対して,$S(x)$を$x$の桁和とします.例えば$S(2026)=2+0+2+6=10$です.
$x=S(x)+S(S(x))$となるような正の整数$x$を全て求め,その総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

nを正の整数とし、
$$
ω(n)=nの異なる素因数の個数
\\
Ω(n)=nの重複込みの素因数の個数
$$
とします。
例えば、
$$
2100=2^{2}×3×5^{2}×7
\\
7=7
$$
なので、

$$
ω(2100)=4
\\
Ω(2100)=2+1+2+1=6
\\
ω(7)=1
\\
Ω(7)=1
$$
となります。

$$
\sum_{n=1}^{256} Ω(n)-ω(n)
$$
を求めなさい。
ただし、√256以下の素数は2,3,5,7,11,13です。

解答形式

半角正整数

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題文

$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。

解答形式

存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。

問題文

ジョーカーを含む54まいのトランプを考える。
上からN枚目がジョーカーa、36枚目がジョーカーbの時を考え、それ以外にジョーカーは入っていなく、カードはランダムであるとする。
この時次のような操作を考える。
操作
1　最初に1枚カードを一番下に送る。これを操作1とする。
2　操作1で送ったカードの枚数と同じだけカードを一番下に送る。これを操作2とする
3　操作1と2で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作3とする。
4　操作2と3で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。これを操作4とする。
x　操作(x-2)と(x-1)で送ったカードの合計分のカードを一枚ずつ一番下に送る。　これを操作xとする。(x >2の時)

このとき次の問いに答えなさい。
(1)最初に一番上のカードがハートのキングだったとき、ハートのキングが再び一番上に来るのは操作Aが終わったときでした。Aに当てはまる数字を答えなさい。
(2)ジョーカーbが初めて一番下にきたのは操作Bの途中でした。Bに当てはまる数を答えなさい。
(3)ジョーカーbが一番上のカードに来たのは操作Cが終わったときでした。Cに当てはまる数を答えなさい。
(4)ジョーカーaが一番上のカードに来たのは操作15が終わったときでした。Nに当てはまる数を答えなさい。

解答形式

(1)A=まるまる（半角数字）のようにスペースを開けずに文字=数字の形にして回答してください。
()ごとに改行をしてください。
例　
(1)A=3
(2)B=8 のようにお願いします
()は半角でお願いします。

問題文

$$
\sum_{i=6}^{10}\frac{\prod _{j=0}^{4}( i-j) -1}{\prod _{j=0}^{4}(i-j)!}
$$
を既約分数で表した際の分子を求めよ