初めて生やした問題

正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.

$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

問題文

次の式を因数分解せよ。

$$
x^2 +x^4+y^4+3x^2y^2 + xy + 2xy^3 + y^2 - 12 + 2x^3y
$$

解答形式

正解においてそれぞれのカッコ内の定数項の合計の値を解答しなさい。
なお、値が負の数になった場合、-の記号はカタカナで答えなさい。
(例)[ただし◯、◻︎、◎などの記号はx、yなどを含める式を表す]
(◯+2)(◻︎+1)→3
◎(◯-1)(◻︎+3)(△-⭐︎)→2
(◯-2)(◯-3)→マイナス5

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)

問題文

網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

${}$　西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
　なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。

解答形式

${}$　解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
　求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。

問題文

以下の等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$a^b(c-1)+a+c=2^{bc-1}-a-b=2026$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

$108$ の正の約数全体の集合を $S$ とします．また$,$整数からなる集合 $X$ の要素のうち正の整数 $p$ で割り切れる最大の回数が $n$ であるようなものの個数を $f_{p,n}(X)$ とします. $S$ の部分集合 $U$ であって次の$2$つの条件をともに満たすようなものはいくつありますか$?$

条件$1$ $:$ $f_{2,0}(U)$$,$$f_{2,1}(U)$$,$$f_{2,2}(U)$ は相異なる$.$
条件$2$ $:$ $f_{3,0}(U)$$,$$f_{3,1}(U)$$,$$f_{3,2}(U)$$,$$f_{3,3}(U)$ は相異なる$.$

ただし $p \nmid x$であるとき $x$ が $p$ で割り切れる最大の回数は $0$ とします$.$

問題文

以下の二つの等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$\begin{cases} a-b=3c \\ a^3-b^3-c^3=c^5 \end{cases}$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56