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鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする. 外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.
OD ⊥ BE BD = 2, DC = 2√7
外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.
正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.
$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち $$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である. このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.
方針だけでも採点します
次の関数方程式を満たす関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をすべて求めよ。 $$f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4xf(y)$$ さらに、実定数 $c$ に対して定義される方程式 $f(f(x) + y) = cx + f(f(y) - x)$ が、定数関数でない多項式解 $f(x)$ を持つための $c$ の条件を特定せよ。
例）文章で解き方含め入力してください。
a^3+b^2+c=11を満たす正の実数a,b,cについて、積abcの最大値を求めてください
求める値は異なる有理数w,x,y,zを用いてw^x・y^zと表されるので、積wxyzを解答してください
x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。
（）は全角でｘは半角で打ってください
次の式を因数分解せよ。
$$ x^2 +x^4+y^4+3x^2y^2 + xy + 2xy^3 + y^2 - 12 + 2x^3y $$
正解においてそれぞれのカッコ内の定数項の合計の値を解答しなさい。 なお、値が負の数になった場合、-の記号はカタカナで答えなさい。 (例)[ただし◯、◻︎、◎などの記号はx、yなどを含める式を表す] (◯+2)(◻︎+1)→3 ◎(◯-1)(◻︎+3)(△-⭐︎)→2 (◯-2)(◯-3)→マイナス5
正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます. $$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$ 次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください. $$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$ ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.
複素数の組 $(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3},\mu_{4},\mu_{5},\mu_{6},\mu_{7})$ は $1\le i \le 6$ を満たす任意の整数 $i$ で $\mu_{i}≠\mu_{i+1}$ であり$,$ $$\mu_{1}=\mu_{2}^2=\mu_{3}^3=\mu_{4}^4=\mu_{5}^5=\mu_{6}^{6}=\mu_{7}^7=1$$ を満たします．このような組はいくつありますか？
半角で解答してください
$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
$xy$ 平面上に $3$ つの円 $C_1:x^2+y^2=1$ $C_2:(x-10)^2+(y-100)^2=25$ $C_3:(x-10000)^2+y^2=2025$ がある． $C_1$ と $C_2$ の共通外接線の交点を $A$，$C_1$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $B$，$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点を $C$ とする． $AB+BC-CA$ の値を求めよ．
整数で回答してください．
網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。
半角で数字のみ入力してください。 ・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。 (例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する ) ・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。 (例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する ) ・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。 (例: $2\log 2$ → $4$を入力する ) ・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)
