P3

問題文

nを正の整数とし、
$$
ω(n)=nの異なる素因数の個数
\\
Ω(n)=nの重複込みの素因数の個数
$$
とします。
例えば、
$$
2100=2^{2}×3×5^{2}×7
\\
7=7
$$
なので、

$$
ω(2100)=4
\\
Ω(2100)=2+1+2+1=6
\\
ω(7)=1
\\
Ω(7)=1
$$
となります。

$$
\sum_{n=1}^{256} Ω(n)-ω(n)
$$
を求めなさい。
ただし、√256以下の素数は2,3,5,7,11,13です。

解答形式

半角正整数

第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

すべての自然数nにおいて、

が整数となるか。

解答形式

YESorNOで答えて

問題

1.$5368+3632=?$
2.$2233-999=?$
3.$100-(50×2)=?$
4.$3×8=(6×3)+(2×?)$
5.$1201-(3×30)=?$
6.$(80×4)+4001=?$

回答形式

$?$に入る数のみ半角で答えてください。
この問題は行ごとのジャッチです。

問題

正整数$a,b,c$において,
$$
(a^{2}+1)(a+b)=abc-1
$$をみたす組$(a,b,c)$の総和を求めよ.

答えの値違いました、すいません。

問題文

x⁷＋x⁵＋x⁴＋x³＋x²＋１を因数分解しなさい。

解答形式

（）は全角でｘは半角で打ってください

問題

次の長さのテープをそれぞれ$\frac{1}{2}$にしたときの$?$に入る数を求めよ。
1.$16mm→?mm$
2.$4cm→?mm$
3.$120mm→?cm$
4.$400cm→?m$
5.$8m→?cm$
6.$5m→?mm$

回答形式

$?$に入る数のみを半角で答えてください。
この問題は行ごとのジャッチです。

問題文

鋭角不等辺三角形ABCが存在する。
内心をI,外心をO,垂心をH、重心をGとする。∠Aの内側にある傍心をJとする。
内接円とAB,ACとの接点をD,Eとして、CD,BEの交点をUとする。BC上にPをとり、BCの中点をM,AからBCに下ろした垂足をFとすると、FPの中点はMとなった。AHの中点をKとして、KMの中点をNとする。また、IUと、Pを通りAFと平行な直線の交点をLとする。JからBCに下ろした垂線とIOの交点をVとする。さらに、Aを含まない方の弧BCの中点をBCで対称移動させた点をA1とし、線分CH上にCZ=2DIとなるZをとり、三角形A1ZHの外心をWとする。GWとNVの交点をXとし、GVとXLの交点をYとする。XY/YLを求めよ。

解答形式

解答は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので、$a,b$を($10$進法において)この順に連結して出力して下さい。

問題文

$$
\sum_{i=6}^{10}\frac{\prod _{j=0}^{4}( i-j) -1}{\prod _{j=0}^{4}(i-j)!}
$$
を既約分数で表した際の分子を求めよ

正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.